双曲三维流形中的几个问题

Even through there are great progresses in the field of 3-manifolds theory, there are still many basic and important questions in 3-manifolds we have not solved. In this project, we will use Nielsen-Thurston's theory and these recent progresses to study some questions related to hyperbolic 3-manifolds. In particular, we will use the tools from the proofs of the virtual fibered conjecture and the ending lamination conjecture to study 3-manifolds. More precisely, at first, we will identify which Lorenz knots are hyperbolic knots, and the second, we will use model manifolds theory to study the relationship between ending laminations of pseudo-Anosov maps and invariant trace fields (invariant quaternion algebras) of random hyperbolic 3-manifolds.

经过人们几十年来的不懈努力，三维流形理论取得了长足的进展。但是三维流形还远远没有理解清楚，有太多基本的问题还未解决。我们要利用曲面映射类群的Nielsen-Thurston理论的证明过程，以及有效纤维化猜想的证明和端叠层结构猜想的证明， 来深入的研究三维流形。拟主要研究以下问题：1、洛仑兹纽结的双曲性，既我们要利用洛仑兹纽结是纤维纽结来完全的把洛仑兹纽结按几何结构进行显性分类。 2、随机三维流形的算术不变量， 既利用端叠层结构猜想的证明中的模型流形理论来探讨pseudo-Anosov映射的端不变量与随机双曲三维流形的不变迹域和不变四元数代数的关系。

在过去四年中，我们主要进行三维双曲流形和四维双曲流形等方面的研究。我们和郑芳婷分类了四维直角双曲120面体形成的Coxeter群的极小指数的无挠子群对应的所有可定向双曲闭四维流形，并计算了他们的相交形式等代数拓扑信息。这是少数的体积比较小的双曲闭四维流形的显性拓扑结果。本文已被接收待发表，但在预印本阶段就受到多人引用。.我们和郑芳婷的合作中， 探讨了带有全测地双曲三维流形边界的四维实双曲流形的存在性问题。什么样的闭流形可以作为高一维流形的边界，既拓扑配边问题，是非常重要的问题。虽然已知任意闭可定向三维流形都是某个可定向四维流形的边界，我们这里进一步考虑几何配边问题，即我们问什么样的三维双曲流形是某个只有一个全测地边界的实双曲四维流形的边界。我们证明当v是三维双曲直角正十二面体的体积时， 对于任意的正整数n， 至少有2n个双曲三维流形，他们的体积都是16nv， 他们的每一个都是某个只有一个全测地边界的双曲四维流形的边界。既某种程度上，几何配边为零的三维双曲流形按体积分布至少是二次多项式增长的。本文已被接收待发表。.我们探讨了实双曲四维流形的代数纤维化问题。由Agol-Wise 关于virtually fiber 猜想的研究， 现在我们知道任意双曲三维流形有一个有限覆盖流形，其是纤维化的。既闭双曲三维流形有某个有限覆盖流形是圆周上的闭曲面丛。 三维纤维化流形在高维流形的一种推广是代数纤维化， 既存在流形的基本群到无限循环群的满射，使得该映射的核是有限生成群，这个核我们称为代数纤维核。 人们现在认为代数纤维化是研究高维流形的一种重要的结构性的方式。在和郑芳婷合作的论文中，我们证明了两个特殊的实双曲四维流形的某个代数纤维核是有限生成群，但是并不是有限表示的群。 我们的结果说明高维流形的纤维化远远比三维流形的纤维化要复杂、困难，现在的工作只是一个深刻课题的刚刚开始。.两维复双曲几何的研究比较困难。 我们讨论了Schwartz2003年构造的一个复双曲曲面的四维流形拓扑结构（Schwartz只考虑了无穷远处边界三维流形的拓扑），我们的文章是现在唯一的一篇文章讨论了比实曲面的平面丛更复杂的无穷体积的复双曲曲面的拓扑。