变分方法应用中的两类核心问题研究

用变分方法来研究应用科学中提出的一些非线性椭圆方程和非线性发展方程。针对两类不同的非线性问题，通过建立各种不同的变分结构和适当的函数空间，构造各种新的流不变集，综合运用变分方法中的各种技巧来证明椭圆问题的正解、变号解的存在性和多重性及其性质，证明非线性发展方程的整体解、爆破解的存在性以及波的稳定性和不稳定性等定性和定量性质。本项目是国际上变分方法及其应用研究的核心内容之一，所得到的结果将极大的推动非线性泛函分析及其应用这一学科的发展，而且将对微分方程的数值计算产生深远的影响。

本项目执行期间，共发表论文10篇，其中8篇被SCI 收录，1篇被EI 收录。用变分方法来研究应用科学中提出的一些非线性椭圆方程的解的存在性和多重性；研究拟线性薛定谔方程的驻波的稳定性和驻波的不稳定性条件。主要结果包括以下几个方面：（1） 通过研究适当的空间上的极小化问题，证明了一类拟线性薛定谔方程的驻波的存在性和稳定性，并通过在不同的函数空间上建立极小化问题，并研究这些极小化问题之间的关系，证明了驻波的不稳定性。（2）通过研究极小化问题的到达函数以及尺度变换，对几个插值不等式的最佳常熟给出刻划，并证明了相关的非线性问题的解的一致有界性，整体解的存在条件和爆破解的存在条件。（3）运用变分方法证明了一类奇异的非线性椭圆方程的多重正解的存在性。