变分方法在非线性椭圆方程和非线性发展方程中的应用

We use the variational method to study several nonlinear elliptic equations and nonlinear evolution equations proposed from applied sciences. For different nonlinear problems, we will establish different variational structures and suitable function spaces as well as constructing different new flow invariant sets. Combining various techniques from the variational method we prove the existence and multiplicity of positive solutions and sign-changing solutions to ellptic equations and their properties.For nonlinear evolution equations, we will prove the existence of global solutions and blow-up solutions for different initial data. We will also prove the stability of waves and their qualitative properties. Special attentions will be focued on developing the variational theory to study blow-up properties for blow-up solutions. This project is one of the core problems in the study of the variational method and its applications. The results will promote the development of nonlinear functional analysis and applications and will be helpful to the subject of computational mathematics.

用变分方法研究应用科学中提出的一些非线性椭圆方程和非线性发展方程。针对各种不同的非线性问题，通过建立各种不同的变分结构和适当的函数空间，构造各种新的流不变集，综合运用变分方法中的各种技巧来证明椭圆问题的正解、变号解的存在性和多重性及其性质，证明非线性发展方程的整体解、爆破解的存在性以及波的稳定性和不稳定性等定性和定量性质，特别是要发展变分理论研究爆破解的爆破性质。本项目是国际上变分方法及其应用研究的核心内容之一，所得到的结果将极大的推动非线性泛函分析及其应用这一学科的发展，对于数值计算学科也将有重要的意义。

本项目执行期间，共发表论文14篇，其中13篇被SCI 收录，1篇发表在中国的《数学进展》上。本项目主要运用变分方法，研究非线性椭圆方程和发展方程解的存在性及性质，包括：（1）对于薛定鄂-泊松方程，研究了自治和非自治的情形，对于高频率的驻波，发展了一套估计泛函几何结构的办法，证明了多重正解的存在性；（2） 证明了非线性不定时Kirchhoff方程多重正解的存在性； （3）关于带有奇异位势的半线性椭圆方程，通过更精细的集合分割，进一步刻划了正解的个数与奇异点个数之间的关系；（4）关于非线性发展方程的柯西问题的研究，在非线性部分带有局部项的情形，证明了整体解、爆棚解的存在性，并对初值作一些估计。部分研究论文已发表就引起了国内外同行的广泛兴趣，单篇论文被他人发表在SCI上的论文引用十多次。