量子场论中的两类变分问题

In this project, two classes of variational problems arising in field theory will be studied in the presence of mixed terms. One of them originates from the Higgs model of electroweak unification theory. The action functional of the electroweak dyon is indefinite. The other is a variational problem about the energy functional of vortices and impurities. For the first problem, we will find the saddle points meeting the boundary conditions via calculus of variations since the terms in the action functional have different sign, which leads to the nonexistence of the minimal points. Then we will show that the saddle points just solve the equations. In addition, we will study the property of the solutions. For the second problem, the energy functional is positive definite and the minimum energy solution will be found via variational methods. The same difficulty in both problems is the appearance of mixed terms in the functional. This will cause some obstacles when we construct the coercive inequality or try to get the monotonicity of the unknown functions.

本项目拟研究两类来自量子场论中的带有混合项的变分问题。一类产生于弱电统一理论的Higgs模型，是关于弱电双荷子（electroweak dyon）的作用量泛函的不定变分问题；另一类是研究涡旋（vortex）在有电或磁杂质存在情况下能量泛函的变分问题。前一类问题的作用量泛函既有正项又有负项，泛函下无界使得不存在极小值点，需要通过处理，借助变分法找到泛函满足指定边界条件的鞍点解，再证明该解与方程解的等价性，同时研究解的性质。后一类问题的能量泛函是正定的，通过变分方法研究刻画含杂质的涡旋的动力学的极小能量解，并研究解的性质。这两类问题有一个共同的难点是泛函中带有关于未知函数的混合项，这将给变分法带来困难。主要表现在两方面：一是在构造约束条件克服泛函下无界时很难得到强制不等式，二是实现边界条件时由于混合项的存在而很难得到未知函数的单调性。

针对本项目的两个带有混合项的（正定和不定）变分问题，首先利用求“鞍点”的思路，将不定变分化为正定的约束变分，解决立项之初存在的第一个困难。对于混合项的存在所造成的极小化序列收敛性无法保证的问题，经多种尝试未能奏效，我们将继续探索它的解决方案。在研究原问题的过程中，发现了一个更有趣的新问题，即对于一类具有无穷能量的物理模型，其能量分配公式中的两个无穷能量之差为一个仅仅与正整数winding numbers有关的常数。我们对此现象分别就Born-Infeld模型和更一般的情况进行了研究，对该结论进行了推广并给出了严格的数学证明。