变分方法在非局部椭圆方程和发展方程中的两类应用

The variational method is used to study elliptic equations with nonlocal terms and evolution equations, which contains two kinds: (1) existence and multiplicity of stationary solutions as well as their properties; (2) stability of nonlinear waves. In the study of stationary solutions to different nonlinear problems involving nonlocal term, we will establish different variational identities and suitable function spaces as well as constructing different constraint minimization problems. Combining various techniques from the variational method, we will prove the existence and multiplicity of positive solutions and sign-changing solutions to ellptic equations and their properties. To study stability of nonlinear waves, we will combine the variational method and the idea of invariant sets to prove the existence of global solutions and blow-up solutions for different initial data. We will also prove the stability of waves and their qualitative properties. Special attentions will be focued on developing the variational theory to study blow-up properties for blow-up solutions. This project is one of the core problems in the study of the variational method and its applications. The results will promote the development of nonlinear functional analysis and applications and will be helpful to the subject of computational mathematics.

研究变分方法在带非局部项的椭圆方程和发展方程的两类应用： （1）稳态解的存在性、多重性及其性质； （2）非线性波的稳定性。在研究稳态解时，针对不同的非线性问题中的非局部项，通过建立各种不同变分恒等式、选择适当的函数空间，构造各种新的约束极小化问题，综合运用变分方法中的各种技巧来证明椭圆问题的正解、变号解的存在性和多重性及其性质； 研究非线性波的稳定性时，把变分方法与流不变集的思想相结合，研究非线性发展方程的整体解、爆破解的存在性以及波的稳定性和不稳定性等定性和定量性质，特别是要发展变分理论研究爆破解的爆破性质。本项目是国际上变分方法及其应用研究的核心内容之一，所得到的结果将极大的推动非线性泛函分析及其应用这一学科的发展，对于数值计算学科也将有重要的意义。

本项目执行期间，共发表论文18篇，全部被SCI收录。本项目主要运用变分方法，研究具有变分结构的椭圆方程和方程组解的存在性及其渐近性质, 主要有3个方面：(1)、针对二阶带位势和各种组合非线性项的椭圆问题，证明了带奇异非线性项的椭圆方程当系数参数在一个适当范围时，2个非负解的存在性及其渐近行为；(2)、针对带有非“局部”项的非线性问题，通过一致估计和选子序列的办法，证明了高频率的薛定谔-泊松方程2个正解的存在性以及正解的渐近性质；对于Kirchhoff型的椭圆问题，通过建立新的约束集合证明了一般的非线性增长条件下，耦合方程组的非零向量基态解的存在性，还证明了Choquard型非线性问题多个正解的存在性及性质； (3)、针对耦合的非线性薛定谔方程组，通过非线性变换，在非线性增长满足通常的超二次条件下，证明了正解的存在性及其关于正的系数参数的渐近性质。本项目研究过程中建立的新的约束集合对变分方法的理论和应用有一定的推进作用。