脉冲微分方程的周期解及其相关问题的研究

本项目主要开展对脉冲微分方程的定性理论研究，包括应用临界点理论（变分方法）来研究脉冲常微分方程的周期解的存在性与多解性等问题；建立Hilbert空间上含偏差变元泛函的临界点存在性与多解性定理，并用来研究脉冲时滞微分方程的周期解的存在性与多解性；研究并建立随机脉冲时滞微分方程的稳定性理论；开展对脉冲微分方程的应用研究，特别是对种群生态学中出现的各类脉冲微分方程或随机脉冲微分方程模型进行系统深入的研究，揭示其内在的本质规律。开拓一些新的数学工具和理论，寻找和发展新的方法、新的思想。开展本项目的研究有着重要的理论意义和实际意义，因为它们会极大地丰富脉冲微分方程和随机微分方程定性理论，将使脉冲微分方程和随机微分方程的定性理论研究达到一个新的水平，并期待着其研究成果在实际问题中得到很好的应用。

脉冲微分方程是一类用来描述具有跳跃点（脉冲）的不连续发展过程的微分方程，它有着十分广泛的应用背景，如控制论、医学和生物学、火箭与宇宙飞船运动以及力学等领域中都会涉及到此类方程。本项目主要开展对脉冲微分方程的定性理论研究，其主要研究工作和取得的成果包括以下几个方面：1、研究了具阻尼项的非线性脉冲Dirichlet边值问题解的存在性与多解性，首次给出了该问题的变分结构，并利用极小极大原理、山路引理和环绕定理等临界点理论给出了该问题解的存在性与多解性的若干充分条件，需要指出的是：即使当模型退化为非脉冲情况时，我们的结果依然是最新的；2、研究了带有参数的非线性p-Laplacian脉冲Sturm-liouville边值问题解的存在性与多解性，针对参数的不同取值给出了问题至少存在1个解、2个解、3个解和无穷多个解的若干充分条件；3、研究了非线性脉冲半直线边值问题和周期边值问题解的存在性与多解性，利用变分方法和喷泉定理，我们对非线性项和脉冲项是超线性的情形给出了上述问题有一个解或无穷多个解存在的若干充分条件，填补了这一研究领域的某些空白；4、研究了脉冲哈密尔顿微分系统Dirichlet边值问题解的存在性与多解性，并初步开展了对由脉冲生成的哈密尔顿微分系统的某些特殊解（如周期解、同宿解、异宿解等）的存在性问题的研究，目前这方面的研究工作几乎还是空白，我们在脉冲生成周期解的存在性问题方面给出了某些较好的结果；5、开展了对种群生态学等领域中出现的大量的脉冲微分方程数学模型的动力学研究， 基于生物学的思想，我们对已有模型进行改造，建立了新的具有时滞、年龄结构和扩散的脉冲捕食-食饵模型与竞争模型，给出了模型的持久性、全局稳定性、周期解的存在性与全局吸引性的若干新的充分条件。我们的上述工作大都发表在国际权威刊物上，其研究方法和研究手段具有一定的创新性，并开拓了某些新的研究方向；我们的结果极大地丰富了脉冲微分方程的定性理论，尤其是将临界点理论应用在脉冲微分系统的定性理论研究中，使其理论研究达到了一个新的研究水平，同时在实际问题中也得到了很好的应用。