时滞反应扩散系统的分支问题与自由边界问题的理论和应用研究

The reaction-diffusion equations are widely applied in many fields in science and technology. Although comprehensive theories and researching methods have been found in solving bifurcation problems and free boundary problems, many other problems are still in urgent need to be solved, and some researching work is still in its infancy. The purpose of this project is to investigate the effect of time delay, diffusion and free boundary on the dynamical behavior of differential systems, and to contuct a systematical study on the bifurcation problems and free boundary problems for delayed reaction-diffusion systems. Further improvement will be made on the bifurcation theory of delayed reaction-diffusion equations and the existence theorem of Hope bifurcation of high dimensional delayed reaction-diffusion equations will be established, and the dynamic behavior of Turing pattern caused by cross-diffusion will be discussed. The global dynamical behaviors of solutions of the free boundary problem of delayed reaction-diffusion equation(set) including global existence, asymptotic behavior, persistence and extinction will be studied and the threshold conditions for judging the persistence or extinction of such problems will be obtained. Theoretical results will be applied in some mathematical models arising from biological invasions and epidemiology so as to solve such problems as whether the species will invade successfully and whether the infectious diseases will spread continuously and the speed of their spread. In this project, new ways will be explored and new theories will be developed for the study of the reaction-diffusion equations. This project will also establish and study new mathematical models of dispersal phenomena in biology and epidemiology, and discover new biological phenomena as well.

反应扩散方程广泛出现于自然科学与工程技术的各个领域，尽管其分支问题和自由边界问题已经有了相对较为完整的理论和研究方法，但仍有许多问题亟待解决，有些研究工作尚在起步阶段。本项目旨在探讨时滞、扩散和自由边界对微分系统动力学行为的影响，对时滞反应扩散系统的分支问题和自由边界问题进行系统深入的研究。丰富和完善时滞反应扩散方程的分支理论，建立高维时滞反应扩散方程Hopf分支的存在性定理，探讨由交叉扩散导致的Turing斑图动力学行为；获得时滞反应扩散方程（组）的自由边界问题解的全局存在性、渐近性、持久性和灭绝性，给出判定这类问题解持久或灭绝的阈值条件；将理论结果应用于新物种入侵和传染病传播等具体模型中，解决物种能否成功入侵和传染病是否会持续传播以及传播速度的问题。该项目将为研究反应扩散方程探索新的方法，发展新的理论，对种群生态学和传染病学中出现的扩散现象建立和研究新的数学模型，发现新的生物学现象。

本项目的工作主要以时滞、扩散及自由边界对微分系统动力学行为的影响为切入点，以种群动力学模型、传染病模型、植物病毒模型、生化反应模型等为研究背景，以动力系统理论、非线性泛函分析、拓扑学、偏泛函微分方程理论等为理论工具，针对具时滞的反应扩散系统的分支问题和自由边界问题展开研究。我们的主要研究工作和取得的成果包括：1、时滞反应扩散捕食系统的稳定性与分支问题研究，利用线性化稳定性分析方法、上下解方法等建立了系统的非负稳态解的局部与全局稳定性的判据定理，以时滞和扩散系数为分支参数，给出了系统产生余维1和余维2分支的充分条件；2、时滞反应扩散对流竞争系统的稳定性与分支问题研究，对于无时滞的情形，应用上下解方法和Schauder理论得到了系统全局解的存在性，利用Lyapunov泛函以及不等式技巧，得到了系统的非齐次正稳态解的全局稳定性；对于有离散时滞、分布时滞和非局部时滞的情形，建立了系统在临界点分支产生的条件；3、反应扩散系统的斑图动力学研究，揭示了系统的空间斑图产生的关键机制，并利用建立在临界点处的振幅方程给出了斑图的选择；4、反应扩散系统的自由边界问题的长时间动力学研究，证明了系统全局解的存在唯一性，给出了模型解的长时间动力学行为，得到了模型所具有的扩张与毁灭的二分性并给出了其判据定理，给出了渐近传播速度的上、下界估计； 5、两个物种的化学趋化模型解的适定性研究，分别针对有或无logistic源的趋化系统以及吸引-排斥趋化系统，建立了系统的解全局有界和指数收敛的充分条件；6、反应扩散传染病模型的动力学研究，分别针对有非局部扩散、非线性感染率和有潜伏期的反应扩散传染病模型，利用下代算子理论给出了基本再生数，讨论了疾病消除、持久或形成地方病的阈值条件。我们的上述工作大都发表在国际权威刊物上，其研究方法和研究手段具有一定的创新性，并开拓了某些新的研究方向。