脉冲扰动对微分系统动力学行为的影响及脉冲最优控制问题研究

This proposal aims to study existence and multiplicity of periodic solutions, homoclinic orbits and heteroclinic orbits of systems of differential equations with impulsive perturbations. The main approaches include but are not limited to Variational method and some critical point theories such as Minimax theory, Category theory, Morse theory. We aim to establish Lyapunov-Razumikhin stability theorems for impulsive delay differential equations and impulsive stochastic delay differential equations. We also plan to obtain some sufficient conditions for impulsive control stability, asymptotical stability and exponential stability. Another aspect we will focus on is the existence of optimal solutions to optimal control problems with constraints given by impulsive differential equations. For this type of optimal control problems, we aim to dervive maximal principle (necessary condition for optimality). In addition, we will also propose effective algorithms to numerically compute the optimal solutions. We then apply the theory to practical problems in ecology, control and chemical engineering, and economics. Through research proposed in this proposal, we hope to understand how the impulsive perturbations will affect the dynamics of systems of differential equations. This study will develop new theories on impulsive differential equations and related optimal control problems and thus has a great potential in practical applications.

本项目旨在利用Minimax理论、畴数理论和Morse理论等临界点理论和变分方法研究由脉冲生成的微分系统周期解、同宿异宿轨的存在性与多解性问题；建立脉冲时滞微分方程和脉冲随机时滞微分方程的Lyapunov-Razumikhin型稳定性定理，给出时滞微分系统和随机时滞微分系统可脉冲控制稳定、渐近稳定及指数稳定的充分条件；研究由脉冲生成的最优控制问题最优解的存在性问题，建立脉冲约束的最优控制问题的最大值原理，给出其最优解存在的必要条件,并给出有效的数值求最优解的算法；开展对脉冲微分系统的应用研究，对种群生态学、控制论、经济学及化学反应动力学中出现的各类脉冲模型进行系统的研究。通过上述问题的研究，进一步揭示脉冲扰动在微分系统的动力学行为中的影响和作用，为更好地了解系统特性及其变化规律、控制系统、服务人类提供理论依据。本项目对于脉冲微分方程及最优控制理论的发展和完善有着重要的理论与实际意义。

脉冲现象作为一种瞬间突变的现象，在现代科技的各个领域如控制论、医学和生物学、火箭与航天运动等领域中广泛存在，这种现象的数学模型可以归结为脉冲微分方程。本项目旨在考虑由脉冲扰动引起的微分系统动力学行为的改变，从而揭示脉冲在微分系统动力学行为中的影响和作用。我们的主要研究工作和取得的成果包括：1、基于临界点理论研究了具有迪理克莱边值条件的二阶脉冲哈密尔顿微分系统和具阻尼项的非线性脉冲问题解的存在性与多解性，取消了一些条件的限制，应用新的研究方法，将已有的一些相关结果做了较大地改进和推广；2、结合不动点理论、变分方法、微分方程几何理论等方法和技巧，分别得到了固定脉冲时刻和依赖于状态的脉冲时刻微分方程由脉冲生成的周期解、同宿轨及异宿轨的存在性结果，目前这方面的工作还不多，我们的工作填补了这方面的空白；3、当临界点理论应用到脉冲时滞微分系统时，由于脉冲与时滞的同时出现，使得其变分结构的寻找十分困难，我们首次开展了这方面的工作并得到了一些较好的结果；4、状态依赖的脉冲微分系统由于脉冲时刻的可变性，使得其动力学研究十分困难，我们主要开展了系统的稳定性、周期解及同宿环与异宿环的存在性等方面的研究，其工作对推进半连续动力系统的研究起到了非常重要的作用；5、脉冲扰动对微分系统的稳定性会产生影响，我们的研究表明：在某些微分系统中，当选择某个脉冲参数做为分支参数，在这个参数较小时，系统是稳定的，而当参数达到某个阈值时，稳定性消失，系统分支出跨临界分支或flip分支，我们的结果进一步揭示了脉冲会导致系统产生复杂的动力学行为；6、最优控制问题具有十分重要的实际意义，我们主要开展了对某些传染病模型的优化接种和优化治疗以及某些渔业竞争模型的最优收获策略问题的研究，所获得的结果受到了许多同行的广泛关注。我们的上述工作大都发表在国际权威刊物上，其研究方法和研究手段具有一定的创新性，并开拓了某些新的研究方向。