零能控的热传导系统形状最优化问题研究

The objective of the project is to study the shape optimization problem related to the multi-dimensional heat equation with null controllability. It includes the existence of the optimal domain for the time optimal and norm optimal control systems of the heat equations. Based on these problems, we are able to formulate a related game problem. The optimal solution of variant function by using the so-called Haudorff distance will be expected. The position of the optimal domain in the spacial domain will be determined for a special class of domains. Finally, the optimal solution of the game problem about the above two cases by using game theory is also expected.

大部分的工业系统，例如造纸工业，都要控制温度，这也是能源控制的主要问题之一。本项目研究热传导方程零能控时相关的形状最优化问题。主要包括热传导方程零能控时关于时间与范数最优控制的形状最优化，以及由此产生的形状最优化的对策问题。我们将具体从时间最优控制与范数最优控制这两个方面展开对其上的形状最优化的研究，首先运用经典的Hausdorff度量对其变分函数进行研究，以期得到最优区域的存在性，然后，进一步研究最优区域的形状。特别的，对于某些特殊情形，我们要研究最优区域所处的空间位置。将前面两个问题综合在一起，会得到一个关于形状最优化的对策问题，我们拟从对策论的观点展开对该问题的研究。

零可控的热传导系统的形状最优化问题是将分布参数系统的控制理论与偏微分方程的形状最优化理论相结合的产物。在工业和工程中，热传导方程描述的是温度分布，而与温度分布直接相关的是能源问题，当今世界，能源消耗严重，能源问题是科学家关注的一个非常重要的问题；另外，控制器、观测器与传感器的位置问题一直都是控制问题中的一个基本的问题，那么，如何设计或找到这些控制器、观测器以及传感器的形状与位置，从而节省更多的能源，更是重中之重！但是，因为涉及到两个学科的交叉，而处理形状优化问题这方面的技术还不是很多，迄今为止，在国内外，相关这方面的工作很少。本项目主要研究的是零可控的热传导方程的形状最优化问题，其内容包括控制器的形状与位置，也包括由此问题产生的博弈（对策）问题。本项目自2014年开始展开了这方面的研究以来，我们以热方程的时间与范数最优控制问题为背景展开研究，取得了一系列的丰富的研究成果，其一、我们证明了某些收敛的区域族其边界在 Hausdorff 测度意义下也是收敛的，这个结果发表在国际控制论顶级期刊《SIAM J. Control Optim.》；其二、我们得到了零可控的热传导方程在某些特殊区域中最佳移动控制器的存在性，这是一个基本的结果，为工程与工业的应用提供了一个强有力的理论背景，也是我们后续工作的基础，该工作发表在国际控制论著名杂志《Math. Control Signals Syst.》上，该杂志一年出版的论文不超过16篇；其三、考虑了具有固定测度的可测集上的移动控制器问题，通过博弈论（对策论）的方法得到了最佳移动控制器的存在性，从数学上解决了最佳移动控制器的存在性，这是我们迄今为止得到的最为优美的关于移动控制器的存在性结果，该结果发表在国际偏微分方程的著名期刊《J. Differential Equations》上；其四、在本项目的资助下，我们还在最优控制领域取得了一系列的成果，这些成果不仅包括随机最佳移动控制器的存在性，还包括随机微分方程的最优控制问题的存在性以及确定情形下的时变bang-bang问题等等。在本项目的资助下，我们已经发表了10篇论文，还有至少4篇论文正在投稿或修改之中。