施加控制的椭圆方程的形状最优化问题的研究

This project is about shape optimization problems for controlled elliptic equations. These problems are new mathematical problems that combine the optimal control theory of the elliptic equations with the shape optimization theory of the elliptic equations. It not only has a profound mathematical theory background, but also has a large number of practical applications. This project aims at studying from the following aspects: a) Starting from the quadratic linear optimal control problems of the Laplace operator to develop the maximum principle of the optimal controls; b) From the shape optimization problems of the Laplace operator with controls to derive existence of solutions of shape optimization problems and characterize the optimal regions of the optimal solutions; c) Establishment of shape optimization theory for controlled linear elliptic equations; d) From linear elliptic equations to nonlinear elliptic equations to consider shape optimization problems for nonlinear elliptic equations and establishment of shape optimization theory for nonlinear systems. This project will not only broad the control theory of distributed parameter systems, but also bring new ideas for shape optimization theory of partial differential equations.

本项目研究施加控制的椭圆方程形状最优化问题。这是一个将椭圆方程的最优控制理论与椭圆方程的形状最优化理论相结合产生的全新的数学问题。它不仅有着深刻的数学理论背景，也有着大量的现实应用实例。本项目拟从以下几个方面展开研究：（1）开展Laplace算子施加控制后的二次线性最优控制理论的研究，得到最优控制的最大值原理；（2）开展施加控制后的Laplace算子特征值的形状最优化问题的研究，得到形状最优化问题的解的存在性以及最优解所对应的最优区域的刻画；（3）系统的建立施加控制后的线性椭圆方程的形状最优化相关理论；（4）拓宽思路，从线性椭圆方程过渡到非线性椭圆方程，考虑施加控制后的非线性椭圆方程的形状最优化问题，建立一套比较完善的相关非线性系统的形状最优化理论。这些问题的解决，不仅会给分布参数系统的控制理论提供新的参考与借鉴，也会给偏微分方程的形状最优化理论带来新的研究思路。

本项目研究施加控制的椭圆方程形状最优化问题。这是一个将椭圆方程的最优控制理论与椭圆方程的形状最优化理论相结合产生的全新的数学问题。有两个方面的主要研究内容：（1）开展 Laplace 算子施加控制后的二次线性最优控制理论的研究，得到最优控制的最大值原理；（2）开展施加控制后的 Laplace 算子特征值的形状最优化问题的研究，得到形状最优化问题的解的存在性以及最优 解所对应的最优区域的刻画。我们从这些方面展开研究，获得如下几个重要结果：（1）得到了施加控制后的 Laplace 算子特征值的形状最优化问题解的存在性，其中最优控制施加于位势函数，并且刻画了最优解的形态；（2）推广我们的结果至一般椭圆方程以及奇异方程，亦获得相关形状最优化问题解的存在性，并且刻画了最优解的形态；（3）得到了零可控的热方程关于控制区域的形状最优化问题的解的存在性，其中目标函数为最优范数，并且刻画了最优解的形态。这些结果是最新的。这些结果的获得，为形状最优化问题提供了重要背景与研究前景。