近Kaehler流形中的若干问题

（A）1）Donaldson posted the following question:If an almost complex structure on a closed 4-manifold is tamed by a symplectic form, must it be compatible with a new symplectic form? We first consider the case b+=1, this is an analogue of the Kodaira conjecture for the compact complex surfaces. 2）Donaldson suggests approach to this question, one along the lines used by Yau to Calabi conjecture. Hence we want to investigate the Calabi-Yau equation on symplectic manifolds, in particular, Calabi-Yau equation on Hamiltonian 4-manifolds. (B) Demailly studied regularization of closed positive currents of type (1,1) on compact complex manifolds. We want to extend to almost complex manifolds with local symplectic property by using Donaldson's approximately holomorphic methods and canonical connections. (C) 1）Suppose M is a compact Kaehler surface with a Kaehler form. If we have any other symplectic form on M, with the same Chern class and with the same cohomology class, can we prove that the two symplectic forms are symplectic equivalent? 2）One general question is whether a symplectic structure on a 4-manifold is unique, up to diffeomorphism, given the symplectic cohomology class and the first Chern class.

（A）1）研究Donaldson提出的问题：如一个四维流形上的近复结构被一辛形式驯化，是否存在一个新的辛结构与给定近复结构相容。我们特别注重b+=1情形。 2）我们研究辛流形上的广义Calabi-Yau方程，特别关注Hamilton四维辛流形。 （B）研究具局部辛形式的近复流形上的闭，正（1,1）-流的正则性，这类似于Demailly关于复流形上闭，正（1,1）-流的正则性研究。主要技术是典则联络和Donaldson的全纯逼近方法。 （C）1）如果我们有一个紧Kaehler曲面和另外一个辛-形式，Kaehler-形式和辛-形式具有同样的第一Chern类和de Rham上同调类，他们是否会辛-等价？ 2）更一般的问题，具有相同辛-上同调类和第一Chern类是否会辛-等价？

我们已经发表了以下一些重要结果：.1. 设 $M$ 是具有近复结构的闭4-流形.. 令 $\mathcal{J}'(M)=\{J\in\mathcal{J}: h^-_J=0\}$, 那么 $\mathcal{J}'$ 是 $\mathcal{J}$ 的开稠子集(在 $C^\infty$-拓扑意义下)..2. 设 $(M,\omega)$ 是一闭的辛4-流形, $\mathcal{J}^c_\omega(M)$ 为 $M$上$\omega$-相容的近复结构构成的无限维空间.. 令 ${\mathcal{J}^c_\omega(M)}'\triangleq\{J\in\mathcal{J}^c_\omega(M): h^-_J=0\}$, 则 ${\mathcal{J}^c_\omega(M)}'$是 $ \mathcal{J}^c_\omega(M)$的开稠子集..3. 设 $(M,g,J,F)$ 是一个近Hermitian流形, $f:\Sigma\to M$ 是一个单浸入且满足$\cos\alpha_0>0$. 如果泛函 $L_p$ 在 $\mathcal{H}$ 中有奇点, 则该浸入是$J$-全纯的, 其中$p\in\mathbb{Z}-\{1\}$...另外, 我们还得到以下重要结果, 均在投稿中：.1. 假设$(M,\omega)$ 是一个2n维的闭辛抛物流形且满足hard Lefschetz 性质, 那么它的欧拉示性数满足 $(-1)^n\chi(M)\geq0$. (arXiv:1602.08221v2).2. 令$(M,\omega)$ 是一个闭的辛四维流形. 假设$J$是$M$上的一个$\omega$驯化的近复结构且满足$h^-_J=b^+-1$, 那么存在一个新的辛形式$\Omega$与$J$相容. 从而我们得到：假设 $(M,J)$ 是个被 $\omega$ 驯化的闭的近复四维流形. 当 $b^+=1$ 时, 那么存在一个新的辛形式 $\Omega$与 $J$ 相容, 且$\Omega$与 $\omega$ 上同调. (arXiv:1712.02948v1). 上述定理可看成Kodaira猜想的辛版本.