Fano流形上Kaehler-Ricci流的极限

The project aims to study the Hamilton-Tian conjecture for Kaehler-Ricci flow on Fano manifolds. It is known that the Kaehler-Ricci flow in the anti-canonical class on a compact Fano manifold exists for all time. Hamilton-Tian conjectures that such a solution always converge in the Gromov-Hausdorff topology to a shrinking Kaehler-Ricci soliton, maybe with mild singularities of Hausdorff codimension greater than or equal to 4, and the convergence takes place smoothly on the regular set. There are two main integedients contained in the proof of the conjecture: (1) the characterization of the regular points and the estimation of the singular set, (2) the uniqueness of the Gromov-Hausdorff limit of the Kaehler-Ricci flow. As one application, the Hamilton-Tian conjecture implies the Yau-Tian-Donaldson conjecture for the existence problem of Kaehler-Einstein metrics on Fano manifolds.

本项目旨在研究Fano流形上Kaehler-Ricci流的Hamilton-Tian猜想及相关问题。在紧致Fano流形上，Kaehler类为第一陈类的Kaehler-Ricci流长期存在；Hamilton-Tian猜想这种Kaehler-Ricci流在Gromov-Hausdorff拓扑下收敛到有奇异集合的收缩Kaehler-Ricci孤立子，奇异集合的Hausdorff余维数大于等于4，在奇异集外度量光滑收敛。证明要点包含两个方面：（1）Gromov-Hausdorff极限空间正则性部分的刻画和奇异集合的估计，（2）Gromov-Hausdorff极限空间的唯一性。作为应用，Hamilton-Tian暗示Fano流形上Kaehler-Einstein度量存在性的Yau-Tian-Donaldson猜想。

自从1982年Hamilton发表第一篇关于Ricci流的文章以来，Ricci 流作为一种新的技术在几何学的研究中取得了极大的成功和长足的发展。2002-2003年，Perelman在Hamilton工作基础上运用Ricci流证明了百年的Poincare猜想以及Thurston几何化猜想，成为21世纪以来几何和拓扑方向最重要的数学进展。由于与Einstein度量密切联系，可以利用Ricci流研究Einstein度量存在性问题。在Kahler流形上，利用丘成桐的估计，曹怀东证明了第一陈类等于零和小于零情况Kahler-Ricci流收敛到Kahler-Einstein度量。第一陈类大于零（Fano流形）的情况，丘成桐-田刚-Donaldson猜想存在Kahler-Einstein度量当且仅当流形K-稳定。该猜想的必要性由田刚在上世纪90年代证明；充分性近期被田刚和陈秀雄-Donaldson-孙崧分别独立证明。在这些工作的同时，Kahler-Ricci流也被认为是解决该猜想的有效途径，被国际上多位数学家研究。其中的核心问题是Hamilton-田刚猜想，即Kahler-Ricci流在Gromov-Hausdorff拓扑意义下收敛到奇异的Kahler-Ricci孤立子。本项目中，我们研究上述两个问题。我们的主要结论是：在三维情况，Hamilton-田刚猜想成立。我们在三维给出了丘成桐-田刚-Donaldson猜想的Ricci流证明。