线性控制系统的拓扑分类问题

本项目借鉴动力系统和微分方程的拓扑分类方法，来研究线性控制系统的分类问题。但是控制系统的分类还需要关注系统自身所特有的能控性、能观性、能稳性、最优性或其他与控制系统的设计有关的性质，这是与动力系统和微分方程分类问题的本质区别。本项目主要研究线性时变控制系统、广义线性控制系统的拓扑分类，并探索无限维线性控制系统的分类。分类的任务在于揭示哪些量或性质在等价变换下保持不变，因此，研究某个复杂系统控制方面的性质，就转化为讨论其所属等价类中最特殊最简单的系统的相应性质。我们将综合运用代数、几何及泛函分析工具，通过从有限维系统到无限维系统的逐步研究，发展出一套关于线性控制系统分类问题的分析方法。

分类的实质在于根据研究对象及所关注的性质，定义出适当的等价关系，然后在此等价关系下去确定等价类，并且揭示哪些量或性质在等价变换下保持不变。本项目对较一般的线性控制系统，包括时变系统、广义系统以及无限维系统，综合运用代数、几何及泛函分析工具，研究其拓扑分类问题。. 首先，本项目对线性时变控制系统进行研究，证明了系统的状态变量不依赖和它等价的另一系统的控制变量；在固定维数并假定二分性时，讨论了线性时变控制系统的拓扑等价类个数以及系统的结构稳定性。然后，本项目针对广义线性时不变系统，借鉴M. A. Shayman和Z. Zhou的思想及处理方法，将全部广义线性时不变控制系统构成的空间，分解成无穷多个开子集之并，而正常线性时不变控制系统构成的集合是其中一个开子集。在建立每个开子集与正常系统构成集合的同构关系后，每个开子集里广义系统的分类问题，最终归结为正常系统的分类问题。最后，对于无限维控制系统，有限维的某些工具和方法不再适用，其复杂性远超过有限维。无限维线性控制系统的分类问题，申请人目前还仅仅处于起步阶段，需要进一步的学习和探讨。. 在本项目的研究期间，申请人不断思索，查阅各种文献，学习新的数学工具，从而科研能力得到了一定程度的提高，为研究工作的进一步展开奠定了基础。依托本项目，申请人完成中国控制会议论文一篇。