几类非线性偏微分方程组的行波解与平衡解的定性研究

This research project will mainly investigate the existence and stability of the travelling waves and steady states and asymptotic behavior of solutions for several classes of partial differential systems; which includes the existence and stability of nontrivial steady states and traveling waves with singular structure and the existence and asymptotic behavior of solutions for several types of SKT competition models and chemotactic biological models with quasi-linear cross diffusion; the existence and stability of planar waves and higher dimensional waves in cylinder and the existence of generalized traveling waves for some autocatalytic reaction systems and combustion models; the existence and stability of traveling waves and steady states for some heterogeneous biological model or with nonlocal terms as well as the stability of traveling waves with large magnitude for some coupled parabolic hyperbolic system; we shall also do numerical analysis and numerical simulations on the related eigenvalue problems. The problems investigated in this project have strong background in application and correspond some special natural phenomena, and are also the recently pioneering problems in the research field of PDE and applied mathematics. In this project we aim to improve the related theories and research methods on the existence and stability of steady states and traveling waves as well as the detailed spectral analysis, and try to obtain a series of important research results with higher theoretical innovation, where some results will also reveal or explain some important natural phenomena.

该项目主要研究几大类偏微分方程组的行波解、平衡解的存在性、稳定性及解的渐近性，其中包括研究几类带拟线性交错扩散项的SKT生物竞争模型与趋化性生物模型的非平凡平衡解与具奇异结构的行波解的存在性、稳定性及整体解存在性和渐近性；几类自催化反应方程组与燃烧模型的平面波解与高维柱面波解的存在性、稳定性及广义行波解的存在性；研究带空间非均匀性或非局部项的生物模型的行波解与平衡解的存在性、稳定性及一些抛物双曲耦合方程组的大强度冲击波解的渐近稳定性；还将对相关特征值问题进行深入的数值模拟和数值分析。所研究的几大类问题不仅具有很强的应用背景、对应奇特的自然现象，而且是近年来偏微分方程及应用数学研究领域的国际前沿和热门的研究课题。该项目力图在多种类型的耦合方程组的行波解、平衡解的存在性、稳定性及细致谱分析方面改进现有研究方法和研究理论，取得一系列具很高理论创新性的研究成果,同时揭示和解释一些重要自然现象。

该项目主要研究了几类拟线性交错扩散方程组、抛物双曲耦合方程组和一些重要反应扩散方程组的行波解、平衡解的存在性、稳定性和解的渐近性。在该项目中通过把奇异摄动法、非经典分叉方法、谱分析法、Evans 函数法、上下解方法、Lyapunov-Schmitz分解法等研究方法和数值模拟巧妙结合，进而改进相关抽象理论和研究框架及数值模拟方法, 我们得到了一系列重要的和全新的理论研究结果和数值模拟结果。该项目得到的主要研究结果包括：对几类SKT型交错扩散方程组得到了几类尖峰平衡解的稳定性/不稳定性和具特殊分叉结构和爆破结构的平衡解的存在性和稳定性；对退化Fisher方程得到了具空间指数与非指数衰减的高维柱形域波的唯一性、精细的空间衰减估计和波的稳定性及具一般初值的解的渐近性；对一类重要的带奇性的Keller-Segel趋化模型证明了脉冲波解的谱稳定性和解的适定性；对几类交错扩散方程组得到非平凡正平衡解和行波解的存在性与稳定性；对一类强衰减的自催化化学反应模型得到了非临界波速波的精细的非指数空间衰减估计和线性稳定性；一类传染病模型的波的稳定性和更一般初值的解的渐近传播速度；几类抛物双曲耦合方程组的波前解的渐近稳定性；带非局部项的Fisher 方程的二维柱形域波的局部稳定性和解的渐近性。所研究的问题均具有强烈的应用背景和对应重要的自然现象，有些问题也是近年来偏微分方程和应用数学相关研究领域的前沿研究课题。在本项目中我们改进了有关行波解和平衡解的存在性、稳定性及细致谱分析研究的一些相关研究理论和研究方法，在研究技巧上也有本质创新，我们的大部分定性和数值模拟结果也具有的一定应用价值和解释了一些重要的自然现象。该项目已完成学术论文20余篇，主要结果发表在国内外重要刊物上，其中在SCI 刊物上发表论文13篇，国内核心刊物上4篇。