拟线性交错扩散方程组与抛物双曲耦合方程组的定性研究

该项目主要研究几类具强烈生物、物理及化学反应背景的拟线性趋化型交错扩散和S-K-T型交错扩散方程组的整体解存在性、解的渐近性和由交错扩散导致的具奇异结构的行波解、平衡解的存在性、渐近稳定性及爆破解存在性，一些重要反应扩散方程组的具空间代数衰减的行波解存在性、稳定性，一些非自治反应扩散方程高维行波解的存在性及一些抛物双曲耦合方程组的非弱强度波的渐近稳定性。所研究的问题不仅具有强烈的实际背景，且因其模型特有的强耦合性、拟线性性、非自治性或抛物双曲耦合性及所研究的行波解、平衡解的奇异性、快慢结构、慢代数衰减性等使得很多现有的偏微经典理论和研究方法不能直接应用，一直是近年来国际偏微和动力系统研究领域的前沿研究课题。该项目力图在整体解的先验估计、爆破解结构及具奇异结构的行波解、平衡解的谱分析方面改进现有研究理论和方法，并取得一系列的具重要理论创新的研究结果，同时揭示和解释一些重要自然现象。

已圆满完成该项目预定研究计划,特别在对几类拟线性交错扩散方程组的多种类型非常数平衡解的存在性、稳定性，几类抛物双曲耦合方程组的大强度的行波解的稳定性，退化Fisher方程更一般初值的解的渐近性，自催化反应扩散方程组的行波解的存在性、稳定性方面取得重要研究成果。.项目组共完成学术论文近30篇,其中在国内外重要刊物上发表和接受发表论文4共16篇，其中在SCI杂志上发表和接受发表12篇,在国内核心刊物上4篇;还有多篇文章已投国内外重要刊物。另作为主要作者之一完成学术专著“反应扩散方程引论”第二版的改写和正式出版。期间有多名研究生先后参与课题研究,3篇博士学位论文及9篇硕士学位论文通过答辩。在该项目的部分资助下项目组还主办了1次国际和1次国内学术研讨会，还分别邀请了多位国内外专家学者讲学及合作研究，还有一些后续合作课题还在进行中。.该项目取得的主要成果为把奇异摄动法、分叉理论、Lyapunov-Schmitz分解法、相平面分析、谱分析法、Evans 函数法、半群估计等巧妙结合并改进相关抽象理论和研究框架, 对SKT型交错扩散方程组证明了几类尖峰平衡解及具奇异结构的平衡解的存在性、稳定性及带内边界层的行波解的存在性；对一类带交错扩散的森林模型证明了具非临界波速的行波解的稳定性；对几类抛物双曲耦合方程组证明了大强度行波解的存在性和稳定性；对退化Fisher方程得到了具一般初值的解的渐近性及渐近传播速度；对自催化反应扩散方程组证明了具空间代数衰减与指数衰减的行波解的存在性、稳定性；对几类趋化性交错扩散模型得到了整体解的存在性、非平凡正平衡解的局部与整体分叉结构及稳定性；对一类Keller-Segel趋化模型证明了大尖峰平衡解的存在性、稳定性及行波解的稳定性。上述代表性研究成果均本质改进国内外相关研究结果，并在研究方法和研究技上有本质创新。