几类生物和物理模型中行波解的稳定性研究

The problem of the existence and stability of traveling waves is a classical topic in nonlinear PDE. It has been widely studied during the recent years and many results have been obtained, but there are still many interesting problems unsolved.This research project will mainly investigate the stability of the traveling waves for several classes of partial differential systems, which includes the degenerate systems with quasi-linear cross diffusion, the nonlocal diffusion equations and some coupled parabolic hyperbolic systems with relaxation. The stability here consists of spectral stability, linear stability and nonlinear asymptotic stability. The problems investigated in this project come from biological and physical model and correspond some special natural phenomena, and are also the recently pioneering problems in the research field of PDE and applied mathematics. In this project we aim to improve the related theories and research methods on the stability of traveling waves as well as the detailed spectral analysis, and try to obtain a series of important innovation research results , where some results will also reveal or explain some important natural phenomena.

行波解的存在性稳定性问题，是非线性偏微分方程领域的经典问题. 近年来人们对它广为研究, 并取得了丰硕的成果, 但仍有很多有意义的问题未获解答. 本项目主要研究带交错扩散的拟线性退化方程组和非局部扩散方程以及带松弛的抛物双曲耦合方程组行波解的稳定性，包括谱稳定性、线性稳定性和非线性渐近稳定性. 这几类方程(组)产生于生物和物理模型中，不仅具有很强的应用背景、对应奇特的自然现象，而且是近年来偏微分方程及应用数学研究领域的国际前沿和热门的研究课题. 该项目力图在多种类型的耦合方程组的行波解稳定性及细致谱分析方面改进现有研究方法和研究理论，取得一系列创新性的研究成果，同时揭示和解释一些重要自然现象.

本项目主要利用谱方法、Evans函数方法、几何奇异摄动方法，能量方法及半群估计方法等证明了几类具抛物双曲耦合特性的偏微模型的行波解的稳定性，包括趋化交错扩散方程组非脉冲波的谱稳定性与非线性指数稳定性的等价性研究、拟线性松弛模型的波解的渐近稳定性、带移动障碍的交通流模型的大强度波解的稳定性问题；还证明了几类反应扩散方程（组）的整体解的存在性和 SKT 模型的一类带边界层的行波解存在性。这些方程(组)产生于生物和物理模型中，不仅具有很强的应用背景、对应奇特的自然现象，而且是近年来偏微分方程及应用数学研究领域的国际前沿和热门的研究课题。本项目在一些问题上给出了新的研究框架和研究技巧,本质上改进了国内外已有的研究结果。截至目前，本项目已圆满完成原定研究计划,并根据国际最新研究趋势增加了部分新课题的研究。自2016年1月至2018年12月，本项目已发表5篇学术论文以及出版1部学术专著,其中3篇论文发表在SCI杂志，2篇论文发表在国内核心刊物上，还有5篇重要论文在整理完善中,待投稿。