Besov型函数空间的若干性质及其应用

In this project, we will consider the boundedness of Fourier multipliers on modulation, α-modulation and Besov spaces, embedding relations between function spaces, the product and convolution inequalities on modulation and Lebesgue spaces and so on. In detail, the main research contents can be divided into two parts. In part I, the linear part, we will explore which sharp conditions we should put on unimodular multipliers satisfying certain reasonable assumptions to make it bounded on modulation, α-modulation and Besov spaces and discuss the embedding relations between α-modulation spaces. We also study the characterization of weights such that the fractional integral operator is bounded on weighted modulation spaces. On the other hand, the purpose of part II, the multilinear part, is to establish the relations between weighted modulation and Lebesgue spaces for the product and convolution inequalities and find the sharp conditions for these inequalities. Even though the problems considered in this project mainly originate from Harmonic Analysis, they are also closely related to the PDE theory. The results in this project will enrich the theory about multiplier operator and function space and are essential in promoting the research about dispersive equation.

本项目研究模空间、α-模空间、Besov空间上Fourier乘子的有界性，函数空间的嵌入关系，以及模空间、Lebesgue空间上的乘积不等式和卷积不等式等若干调和分析问题。 主要研究内容有以下两个部分：线性部分方面，对满足一定合理假设的幺模乘子，探寻其在模空间，α-模空间，Besov空间有界的sharp条件；探讨其对应的色散半群的界常数关于时间t的渐进估计；同时探讨α-模空间之间嵌入关系。我们还将讨论分数次积分算子在加权模空间上有界的权类刻画。多线性部分方面，在加权模空间和Lebesgue空间上，建立其对应的乘积和卷积不等式之间的联系，并探寻这些不等式成立的sharp条件。本项目的问题来自调和分析，同时又与偏微分方程有着不可分割的紧密联系，其结果将丰富和完善乘子算子理论、函数空间理论，同时也将对色散方程的研究起到本质的推动作用。

调和分析中的Lebesgue空间与Hardy空间，时频分析中的模空间与Wiener混和空间，与偏微分方程研究紧密相关的幺模乘子与分数次积分算子，这些都是各自领域的研究重点与热点，同时又紧密的联系在一起。.本项目的研究从宏观上入手，通过建立不同问题之间的联系使得它们可以放在统一的框架下进行研究。我们把Besov型空间上的乘子刻画与Besov型空间的嵌入问题统一处理，我们建立Tribel型空间上嵌入定理与Fourier级数Hausdorff-Young型不等式的联系，我们把加权Lebesgue空间上的卷积问题和加权模空间上的乘积问题统一处理。 我们建立了许多诸如此类的宏观联系的结果，这些结果不仅揭示了不同问题间的内在联系，同时使得不同的问题可以相互应用，相互促进解决问题。.在建立宏观联系的基础上，我们发挥调和分析中精细估计的优势，从微观上进一步研究问题。我们解决了局部Hardy空间，Wiener混合空间，Besov空间相互嵌入的指标刻画问题。我们给出了模空间和Triebel空间相互嵌入的指标刻画。我们解决了加权Lebesgue空间，模空间以及Wiener混合空间上乘积与卷积不等式的指标刻画问题。我们建立了分数次积分算子，Hausdorff算子在函数空间中的有界性。这些结果有些是对已有结果的本质改进，回答了一些公开问题；有些则是新的研究的开端，为未来的研究提供进一步的可能性。.我们的研究结果丰富，理论性和应用性极强，对调和分析，偏微方程，和时频分析的发展都具有很强的推动作用。.