新变指标Besov-Triebel-Lizorkin型函数空间及算子有界性

With the development of the practical problems of nonlinear elasticity, electrorheologiacl fluids and image restoration, with a variable exponent growth conditions of nonlinear problems become an emerging research topic. In the study of such nonlinear problems, variable exponent function space is more appropriate function space... This project firstly intends to study the characterizations of variable exponent Besov-Triebel-Lizorkin space. The smooth atomic and molecular decomposition will be given, and several equivalent forms characterized by wavelets, differences and oscillations (local approxiamtion by polynomials) will also be discussed. Then apply these features to prove the boundedness of pseudo-differential operators on this new kind of spaces. And some crucial problems including Sobelev embedding, pointwise estimate for multipliers and nature of traces will be focused. .. The project will also explore the nature of some classical operators and commutators on variable exponent spaces. We'll attempt to establish the optimal estimation of weighted Hardy operator from the variable source space to target space, find the condition on weight function. The boundedness of commutator of some classcial operators in harmonic analysis (such as variable fractional integral operator, weigted Hardy operator) and Lipschitz functions on variable exponent Morrey spaces, Herz spaces and Besov-Triebel-Lizorkin spaces will be studied in this project. These results can also be done on homogeneous spaces or nondoubling spaces.

随着非线性弹性力学、电流变学及图像恢复等实际问题的发展,具有变指数增长性条件的非线性问题成为一个新兴的研究课题. 对这些非线性问题比较合适的函数空间是变指数函数空间. 本课题拟研究变指数的Besov-Triebel-Lizorkin型空间的特征刻画. 如原子分解、分子分解、小波、差分及多项式局部逼近等多种途径进行等价刻画，然后探讨拟微分算子在这些新空间上的有界性，建立Sobelev嵌入性质及乘子的点态估计，迹的性质刻画等. 本项目还将探讨变指数空间上的某些经典算子及交换子的有界性. 建立加权Hardy算子在变指数Lebesgue空间上的最优估计，讨论变指数的分数次积分算子、Hardy算子等调和分析中经典算子与Lip函数生成的交换子在变指数的Morrey空间、Herz空间、Besov-Triebel-Lizorkin空间等函数空间上的相关性质，并将其推广至齐性空间.

随着非线性弹性力学、电流变学及图像恢复等实际问题的发展,具有变指数增长性条件的非线性问题成为一个新兴的研究课题. 对这些非线性问题比较合适的函数空间是变指数函数空间. 与此同时，算子的性质是变指数函数空间研究的另一个重点。变指数函数空间中的分数次积分算子自然也就成为众多学者关注的焦点。本项目组主要利用常指标\alpha(0)或 \alpha(\infty)替代变指标\alpha(・)，降低证明的复杂度，再进一步结合Herz 型变指数函数空间的等价范数定义，研究得到了变指数Herz-Morrey中变指数多重奇异积分算子和BMO函数生成的交换子的有界性，以及多线性分数次积分算子在变指数Lebesgue空间中的一些性质。项目组成员还还研究了变指数分数次积分算子及交换子在变指数函数空间中的有界性。另外，变指数函数空间在偏微分方程中的应用是本项目的另一研究重点。我们尝试对变p(t)的拉普拉斯系统的边界值问题的方程解的存在性和唯一性进行了相关探索，获得了一些相关的结果。