Qcb空间及Domain理论的相关问题研究

Qcb spaces are an important class of topological spaces which have a strong backgroud of theoretical computer science. The category of all qcb spaces is countably complete,cocomplete and Cartesian closed, which can be used to model the denotational semantic是 of functional programs.Known from the traditional domain theory, the field of order and topology based on qcb spaces is called the topological domain theory. Since there is no approximation structurs on general qcb spaces,it is impossible that general qcb space are be used to model some important computational phenomena such as computability. To overcome this limitation of topological domain theory,we will introduce a suitable approximation structure on qcb spaces and study various properties of topologies together with the corresponding categories. In adition, we will also study several unsolved problems in domain theory.The purpose of this project is to improve the present topological domain theory and the traditional domain theory, such that it is more helpful for the applications of topology in certain aspects of theoretical computer science.

Qcb空间是一类有强烈理论计算机科学背景的拓扑空间，该空间构成的范畴是可数完备、可数余完备性及Cartesian闭性，可为函数式程序的指称语义提供数学模型。同传统Domain理论相区别，以Qcb空间为主要研究对象的序与拓扑领域被称为拓扑Domain理论。由于缺乏逼近结构，一般的Qcb空间不适合为可计算性等问题提供数学模型。为克服现有拓扑Domain理论的这一局限性，本项目拟在Qcb空间上引入适当的逼近结构并给出各种拓扑性质及对应范畴的性质。此外，本项目还将研究Domain理论若干与拓扑密切相关的问题。本项目的目的是进一步完善现有理论，为拓扑学在理论计算机科学相关领域的应用提供新的数学理论与方法。

Domain理论是处理函数式程序指称语义与数据的理论框架，它与拓扑学、范畴论有密切关联。Domain理论与拓扑学相交叉产生大量有趣的问题。本项目主要研究与拓扑学和Domain理论都相关的如下问题：（1）Qcb空间的相关问题，（2）幂domain理论中的问题，（3）Universal Domain问题，（4）Domain理论的cartesian闭范畴。主要研究成果如下.（1）.引入新的拓扑空间----定向空间和连续空间，证明：定向空间范畴是一个cartesain闭范畴, 赋予Scott拓扑的偏序集是定向空间，c-空间及连续domain是连续的定向空间，连续的Qcb空间是第二可数的。Domain理论中大量经典结果可自然地推广到定向空间。因此定向空间是Domain理论一般拓扑模型。.（2）.证明连续domain的相容Smyth（分别地，Hoare, Plotkin）powerdomain存在并给出其拓扑表示。证明概率幂domain关于coherent有限局部紧空间封闭，对Jones 1989年提出的一个公开问题给出肯定回答。.（3）.证明T-omega的稳定函数空间是稳定domain理论中的universal domain，首次推广图灵奖得主Dona Scott建立的universal domain理论到稳定domain理论。.（4）.证明拟连续domain的cartesian闭范畴必须由连续domain组成。.这些结果能为函数式程序指称语义提供新的数学工具，同时显示了纯数学（特别是拓扑学与范畴论）在其他科学的应用和重要作用。