序拓扑结构及其在Domain理论中的应用

Domain theory is a mathematical theory for denotational semantic of functional program languages, which is an important branch of theoretical computer science. Topology has been proved a key tool in domain theory, the common object of them is the ordered topological structure. Along with a deep researching of denotational semantic of functional program languages, more general topological spaces are brought into considering. Even some respects of domain theory had been extended, these spaces all have shortcoming of themselves. In this project, we will establish a universality topological model for domain theory and a quite complete theory, several important structures, such as function spaces and powerdomains, can be smoothly extended to this model appropriately. In addition, we will study also some open problems about the probability powerdomain and the universal domain. The purpose of this project is to expand and to improve the present domain theory, such that it is more helpful for the applications of topology in certain aspects of theoretical computer science.

Domain理论是表示函数式程序指称语义的数学理论，是理论计算机科学重要分支之一。拓扑学已被证明研究Domain理论的关键工具，二者的共同对象就是序拓扑结构。随着函数式程序指称语义研究的深入，更多一般的拓扑空间被纳入研究的范畴，比如等价拓扑空间、Qcb空间等。这些空间虽然在不同程度上扩展了Domain理论，但都具有明显的局限性。本项目将通过对序拓扑的研究，为Domain理论建立一种普适性的拓扑模型及较完善的理论，构建适合该模型的函数空间理论、幂domain理论等。此外，本项目还将研究概率幂domain、universal domain相关的未决问题。本项目的研究，能够进一步完善现有理论，并为拓扑学在理论计算机科学相关领域的应用提供新的理论与方法。

拓扑空间赋予适当的序结构，传统的拓扑学则会产生与理论计算机科学密切关联的新结构和新方向，这其中最典型的例子，就是Domain理论。该理论是由图灵奖获得者D. Scott创立，旨在为函数式程序语言的指称语义提供数学基础。本项目主要研究拓扑学与Domain理论密切相关的结构、公开问题以及在一般化的序拓扑空间扩展传统的Domain理论，尤其是幂domain结构与相关范畴的cartesian闭性。本项目取得的重要结果如下：(1)相容线性FS-domain关于相容线性映射及Scott连续映射的函数空间是封闭的；特别地，相容线性FS-domain与Scott连续映射构成的一个cartesian闭范畴。(2)所有具有可数的、M-闭的、几乎代数基的domain与Scott连续映射构成一个cartesain闭范畴，回答了Hamrin and Stoltenberg-Hansen于2006年提出的一个公开问题。(3)若分配连续格的谱空间拓扑等于Scott拓扑，则该分配连续格的对偶格的Scott拓扑等于上拓扑；当该分配连续格是代数的，则其逆命题成立。该结果部分回答了列于拓扑学名著《Open Problems in Topology》关于分配连续格普空间的一个长期未决的公开问题(Problem 528)。(4)若拓扑空间的开集格的有限次乘积赋予Scott拓扑等于Scott拓扑乘积，则consonance性质被下幂空间保持。存在拓扑空间的下幂空间具有consonance性质，其自身不具有consonance性质。该结果部分回答了Brecht 和Kawai于2019年提出的一个公开问题。(5)扩张Domain理论到定向空间，包括连续性、幂domain、及范畴cartesian闭性。本项目的成果具有拓扑学及理论计算机科学的双重意义。