可压缩Navier-Stokes方程的一些数学问题

We are concerned with the global existence and large-time behavior of strong or weak solutions of multi-dimensional compressible Navier-Stokes equations when the initial density contains vacuum. In particular, we will mainly study the following three problems:1)Does there exist a unique global strong solution to the Cauchy problem of two-dimensional barotropic compressible Navier-Stokes equations with initial density being compactly supported? 2) when the intimal density contains vacuum, we will study the Dirichlet problem of the three-dimensional barotropic compressible Navier-Stokes equations. 3) For large initial data with vacuum, can we find a global weak solution to the multi-dimensional full compressible Navier-Stokes equations

可压缩Navier-Stokes 方程起源于流体动力学，描述了粘性可压缩流体的运动,是流体动力学的理论基础。可压缩Navier-Stokes方程具有退化性(真空出现时)、奇异性和强非线性性，其数学理论的研究一直是国际数学界长期关注的焦点问题之一。本项目主要研究可压缩Navier-Stokes 方程的含真空的强解或弱解的整体存在性和大时间行为。特别地，我们将研究：1.初始密度具有紧支集时，2维可压缩等熵Navier-Stokes 方程的Cauchy问题； 2. 初始密度含真空时，3维可压缩等熵Navier-Stokes 方程的Dirichlet边值问题。3. 高维非等熵可压缩Navier-Stokes方程的初边值问题和Cauchy问题的含真空的弱解的整体存在性。

可压缩Navier-Stokes方程是描述粘性可压缩流体的运动，是流体力学的基本数学模型之一，同时也是非线性偏微分方程研究的重点问题之一。本项目重点考虑以下3个方面的问题：1）3维完全可压缩Navier-Stokes方程含真空整体古典解的存在性：研究了三维可压缩热传导Navier-Stokes方程组光滑解和弱解整体存在性与适定性。在初始能量小的情况下，对三维可压缩热传导流体建立了允许密度退化的大震荡初值的整体光滑解和弱解。对于三维完全可压缩Navier-Stokes方程组，只要初始的能量足够小，在允许真空、并且初始密度、速度和温度同时大震荡的情况下,我们得到了光滑解（及弱解）的整体存在性。2）研究了1维完全可压缩Navier-Stokes方程在无界域的任意大初值强解的大时间行为。证明了1维完全可压缩Navier-Stokes方程在无界域的任意大初值强解是非线性渐进稳定的。3）研究了2维等熵可压缩Navier-Stokes方程任意大初值的强解的整体存在性和大时间行为。本质改进了Weigant-Kazhikhov的经典结果。共发表论文11篇。