可压缩 Navier-Stokes 方程组若干数学问题的研究

The Navier-Stokes equations is the basic governing equations for viscous fluids, the study of Navier-Stokes equations have always been the core subjects of heory on nonlinear partial differential equation. This project is planning to studies： (1) global existences of free boundary problem to 3D spherically symmetric isentropic compressible Navier-Stokes equations；(2) global existences and uniqueness of strong solutions to 3D axisymmtric compressible Navier-Stokes system with density-dependent viscosity；(3) global well-posedness and large-time behavior of free boundary problem for 1D compressible Navier-Stokes equations with temperature-dependent heat conductivity. These issues stem from fluid dynamics with strong physical background and application context. The progress achieved in this proposal will help to further improve the theory in the field of nonlinear partial differential equations.

Navier-Stokes 方程是描述粘性流体运动规律的最基本的方程，有关它的研究是非线性偏微分方程理论中的核心问题。本项目将研究：(1) 三维球对称黏性系数依赖于密度的等熵可压缩 Navier-Stokes 方程的自由边值问题的弱解的整体存在性； (2) 三维轴对称黏性系数依赖于密度的等熵可压缩 Navier-Stokes 方程的整体强解的存在性和唯一性；(3) 一维热传导系数依赖于温度的非等熵可压缩 Navier-Stokes 方程自由边值问题的强解适定性和解的大时间行为。这些问题来源于有强烈物理背景和应用背景的流体动力学，本项目的研究将有助于进一步丰富非线性偏微分方程的理论和方法。

本研究项目的结果包括Navier-stokes方程组及相关模型的适定性数学理论。其结果为：(1) 三维粘性系数依赖于密度的Navier-stokes方程组自由边值问题的整体球对称弱解的整体存在性以及轴对称经典解的整体存在性与唯一性；(2) 一维黏性系数为常数(或依赖于密度)而热传导系数依赖于温度的非等熵可压缩 Navier-Stokes 方程自由边值问题的强解的存在性及大时间行为；(3)一维可压缩 MHD 方程组(电阻系数为零或电阻系数不为零)的Cauchy问题的整体适定性；(4) 二维分数阶耗散 Boussinesq 方程组整体适定性。取得了一系列研究成果，在SCI源期刊上发表和接受发表论文9篇，发表和接受发表论文的杂志包括 “ Pacific J. Math.”、“Commun. Math. Sci.”、“Discrete Contin. Dyn. Syst.”、“Z. Angew. Math. Phys.”、“ J. Math. Phys.”、“J. Math. Anal. Appl.”等。