分数阶偏微分方程初边值问题差分方法研究

分数阶微分方程在物理学、金融学、水文地理学等领域具有重要应用价值。由于分数阶导数是一个带有奇性核的积分，只在很少的情况下能得到分数阶偏微分方程定解问题的解析解，且解析表达式非常复杂。因而发展数值方法求解分数阶微分方程成了近5年来国际上的一个具有挑战性的热点问题。本课题拟对分数阶偏微分方程的有限差分解法作系统的研究。用降阶法技术、外推技术以及带权复化求积等技巧对分数阶导数建立具有一致收敛阶的数值微分公式，对时间分数阶偏微分方程初边值问题、空间分数阶偏微分方程初边值问题和空间-时间分数阶偏微分方程初边值问题建立具有高阶逼近精度的差分格式，证明所建立的差分格式的可解性、稳定性和收敛性。分数阶微分方程的数值求解的难点就在于如何对其中的分数阶导数进行离散，发展具有一致逼近阶的分数阶导数的数值微分公式用于分数阶微分方程的数值求解是我们工作的一个特色。