纳米尺度多层薄膜热传导数学模型及其高精度数值算法

The dual-phase-lagging (DPL) model with temperature-jump boundary condition for solving heat conduction in multi-layered nanoscale thin films is very promising and has attracted a great of attention. Developing high order accurate and unconditionally stable compact finite difference schemes for solving such multi-layered nanoscale heat conduction problems is of great interest in both computational science and engineering applications. At present, the higher order accurate numerical method for solving the DPL model with temperature-jump boundary condition in a multi-layered nanoscale thin film is relatively little. The main difficulty lies in how to provide the high order accurate scheme at the boundary points and interfacial points in order to match the high order accurate scheme at the inner points. This project devotes to the development of high order accurate compact finite difference schemes for several DPL models with temperature-jump boundary condition and thermal lagging interacical condition in a multi-layered nanoscale thin film. The regularity (well-posedness) of these models, and the unique solvability, stability and convergence of the numerical methods will be investigated.

应用带有温度跳跃边界条件的双相位滞后(DPL)模型研究纳米尺度多层薄膜热传导问题是一个非常有意义的课题. 该课题得到了越来越多的关注. 发展高精度的无条件稳定的紧致差分格式来求解纳米尺度多层薄膜热传导问题在计算科学和工程应用领域有着极大的意义. 目前求解带有温度跳跃边界条件(Robin边界条件)以及热滞后界面条件的DPL模型的高精度数值方法相对较少. 主要的难点在于对边界点和界面点处给出与内点相匹配的高精度的离散格式. 本课题旨在对带有温度跳跃边界条件及热滞后界面条件的几种不同的DPL模型研究其适定性, 建立高精度的差分格式, 并证明数值解的唯一可解性、稳定性以及收敛性.

在基金项目的资助下，全体成员共同努力，围绕着纳米尺度多层薄膜热传导数学模型和分数阶微分方程高精度快速算法等领域积极地开展研究工作，完成了预定的目标， 取得了丰硕的研究成果，部分研究成果为开创性工作。发表23篇SCI论文，3篇北大中文核心期刊论文，一般刊物2篇论文。在科学出版社出版学术专著2部，在德国De Gruyter（德古意特）出版社出版英文专著1部。培养毕业博士生3人、硕士生4人。参加学术会议25人次。访问国内18所高校并作学术报告。接受来访学者13人次。主办学术会议：分数阶微分方程数值方法研讨会（2017年10月20-23日）。解决的关键科学问题如下：1.对于分数阶纳米热传导模型问题，证明了该模型的适定性， 建立了差分格式，证明了算法的可解性、稳定性和收敛性。2. 对于多项分数阶导数和给出了L2-1_sigma方法，并应用于多项分数阶慢扩散方程和多项分数阶阶波方程的数值求解，建立了差分格式，证明了算法的可解性、稳定性和收敛性。3.对于变阶分数阶慢扩散方程和变阶分数阶波方程发展了L2-1_sigma方法，建立了差分格式，证明了算法的可解性、稳定性和收敛性。4. 对混合扩散-波方程发展了L2-1_sigma方法，建立了差分格式，证明了算法的可解性、稳定性和收敛性。5. 对于Burgers方程的初边值问题建立了二阶差分格式和紧差分格式，在理论上得到了逐点误差估计。6. 对于Korteweg-de Vries方程的初边值问题建立差分格式，在理论上证明了差分格式二阶收敛性。7. 对于带变系数和混合导数项的高维抛物方程建立了二阶差分格式。严格证明了差分格式的可解性、无条件稳定性和收敛性。利用Richarson外推技术，获得空间和时间均为4阶逼近精度的近似解。8. 撰写出版专著《非线性发展方程的有限差分方法》、《分数阶微分方程的差分方法》和《Fractional Differential Equations. Finite Difference Methods》。该书为高等院校计算数学专业、应用数学专业研究生和科学与工程计算科研人员提供了一本很好的参考书。