可积微分差分方程初边值问题研究的Fokas方法

It is very important and essential to study initial-boundary value problems associated with integrable nonlinear evolution systems. In recent years, the so-called Fokas method has been extensively used to analyse initial-boundary value problems for integrable continuous nonlinear evolution equations. In this project, we will develop the Fokas method to study initial-boundary value problems for integrable discrete nonlinear evolution equations. The studies mainly focus on: (1) expanding the Fokas method to analyse initial-boundary value problems for integrable differential-difference equations on positive integers; (2) initial-boundary value problems for integrable differential-difference equations on finite sets of integers, especially in the case of n-periodic boundary value problems; (3) relationship between linearizable boundary conditions and integrable properties such as the R-matrix theory, Bäcklund transform and symmetries; (4) open problems associated with initial-boundary value problems for (2+1)-dimensional integrable systems. Our research will deepen the understanding to integrable differential-difference equations and enrich the mathematical theory of integrable discrete systems.

可积系统的初边值问题在可积系统的研究中一直占据重要地位。Fokas方法是研究可积系统初边值问题的有效手段，近年来已被广泛应用于研究连续可积系统的初边值问题。本项目拟拓展Fokas方法至研究离散可积系统的初边值问题。主要研究内容包括：（1）推广Fokas方法至研究可积微分差分方程在正整数集上的初边值问题；（2）研究可积微分差分方程在有限整数集上的初边值问题，其中着重研究关于离散变量是周期的边值问题；（3）沟通可积微分差分方程的线性化边值条件与R-矩阵理论、Bäcklund变换、对称等可积性质的内在联系；（4）探究2+1维连续与离散可积系统初边值问题研究中的一些公开问题。研究成果有助于深化人们对可积微分差分方程结构的理解，丰富离散可积系统的数学理论内涵。

可积系统的初边值问题是可积系统研究领域中的一个重要研究方向。近年来，对于连续可积系统（可积偏微分方程）的初边值问题，经过众多学者的努力，已经取得很多重要的结果，然而对于离散可积系统（可积微分差分方程），相关的研究并不多见。本课题主要研究离散可积系统初边值问题的可积性质以及求解。通过对本课题的研究，课题组已取得如下主要结果：（1）成功将统一变换方法（Fokas方法）推广至研究离散可积系统在正整数集以及有限整数集上的初边值问题，建立了离散非线性薛定谔方程初边值问题解的积分表示，改进了已有文献中的相关结果；（2）研究了离散可积系统在星形图上的初边值问题，利用统一变换方法建立了该问题解的积分表示。这一结果是连续可积系统在星形图上初边值问题的推广；（3）提出并研究了线性以及可积非线性演化方程在依赖于时间的有限区间上的初边值问题。特别地，对于线性方程，我们以热方程和线性薛定谔方程为例，给出了一个由已知边界条件刻画未知边界条件的方法；（4）将可积系统在固定点处的可积缺陷问题推广到了动态情形。通过引入等空的Poisson结构，我们证明了该类缺陷系统的可积性，并发现该类缺陷系统具有尖峰孤立子解。