空间分数阶偏微分方程高精度快速算法的研究

The fractional partial differential equations have great applications in science and technology. The development of new numerical algorithms for fractional partial differential equations (FPDEs) has received great attention recently in scientific computing. Currently, there are a lot of stable and efficient numerical algorithms for solving time-FPDEs, meanwhile there are still some issues that need to be resolved in solving space-FPDEs. Moreover, the methods for solving time-FPDEs cannot be used directly for solving space-FPDEs as they are fundamentally different. To this end, this research plan devotes to develop high order numerical differential formulas, which are uniformly convergent, for space fractional derivatives; then to construct some high accuracy methods and fast algorithms for space-FPDEs and prove their solvability, stability and convergence; next, to reduce the storage amount and decrease computational complexity for all numerical methods since the nonlocal behavior of the fractional derivative; at last, to select computational stable and effective methods among all numerical algorithms via the numerical experiments and establish a new system of theoretical framework for solving fractional space-FPDEs.

分数阶偏微分方程具有明确的应用背景.发展数值方法求解分数阶偏微分方程是近年来国际上学术界的一个热点问题. 目前, 对时间分数阶偏微分方程已发展了很多稳定高效的数值算法, 对于空间分数阶偏微分方程仍有许多亟待解决的问题. 然而求解空间分数阶偏微分方程时不能简单照搬求解时间分数阶偏微分方程的数值方法, 因为二者是有本质区别的. 本课题旨在构造空间分数阶导数一致逼近的高阶数值微分公式, 进而对空间分数阶偏微分方程建立高精度的差分格式, 证明其可解性、稳定性和收敛性.由于分数阶导数的非局部性质, 对空间和时空分数阶微分方程所建立的数值算法还要考虑减少其存储量和降低计算的复杂度. 最后, 筛选出稳定高效的数值算法, 从而建立起一套新的求解空间分数阶偏微分方程理论框架体系.

分数阶微分方程具有重要的应用背景。由于分数阶导数的非局部性质，发展高效的数值方法求解分数阶微分方程是近年来国际学术界的一个重要的研究课题。本项目完成了预定的目标，取得了较为丰硕的研究成果，有些为开创性工作。具体研究成果如下:..1. 利用位移量为0，-1和 -2的 Grünwald-Letnikov公式得到逼近Caputo分数阶导数的一致3阶的加权位移逼近公式。将此逼近公式用于分数阶低扩散方程的数值求解，得到高效的数值方法。..2. 提出了利用位移量为-1，0和1的Grünwald-Letnikov公式逼近Riemann–Liouville 分数阶导数在相邻3点的加权平均值，得到一致4阶的加权位移逼近公式。将此逼近公式用于求解一维和二维空间分数阶扩散方程，得到高效的数值方法。..3. 利用分数阶中心差商公式逼近Riesz分数阶导数在3点的线性组合值，得到一致4阶的逼近公式。将此逼近公式用于求解二维空间分数阶薛定谔方程和分数阶 Ginzburg–Landau方程的数值求解，得到高效的数值方法。..4. 提出了逼近Caputo导数的L1-2逼近公式，逼近精度可以达到3-α阶。数值结果表明该公式比L1公式时间精度高1阶。..5. 利用Grünwald–Letnikov公式逼近Riemann–Liouville导数有一个超收敛点，对时间分数阶扩散方程构造了一个时间2阶的紧差分格式。..6. 发展了Alikhanov的L2-1_σ公式，用于求解一维、二维分数阶波方程的数值求解。..7. 考虑到分数阶微分方程解的奇性，提出了利用不等距网格建立分数阶导数的离散逼近，用于分数阶微分方程的数值求解。..8. 对二维分数阶低扩散方程、分数阶波方程、分数阶对流扩散方程建立了高精度的紧差分格式和交替方向格式。..9. 对多项分数阶低扩散方程和多项分数阶波方程、 分布阶扩散方程和分布阶波方程、分数阶Cattaneo方程、无界域上的分数阶微分方程建立了高效的差分方法。..10.对Ginzburg-Landau方程、Camassa-Holm方程、相场晶体方程、外延增长模型等非线性问题以及纳米热传导方程建立了高效的差分求解格式。... 发表53篇SCI论文（其中3篇为ESI 论文），2篇北大核心论文。在科学出版社出版学术专著1部。培养出站博士后1人，毕业13人。