随机分数阶扩散方程初边值问题的数值方法研究

As is known that many phenomena in science and engineering which are modeled by deterministic fractional differential equations have some uncertainty, due to the existence of different stochastic perturbations. Therefore, stochastic fractional differential equations are used as an effective tool to describe the phenomena and processes which have the properties of non-locality and stochastic perturbations. Up to now, however, the numerical methods for solving stochastic fractional differential equations do not appear so often in the literature. Therefore, this program is mainly devoted to the study of numerical methods for solving stochastic fractional diffusion equations with initial boundary value conditions, carries out the corresponding theoretical analysis, and provides numerical experiments to verify the theoretical results and computational performances of the proposed methods. Specifically, this program will study the discretizations of stochastic processes and fractional differential derivatives in the same equations, numerical methods for stochastic space fractional diffusion equations with the multiplicative Wiener process, and numerical methods for stochastic time-space fractional diffusion equations with the multiplicative time-space white noise. The challenge of this research is that the appropriate discretization techniques for non-differentiable stochastic processes and non-local fractional differential derivatives should be selected and designed to obtain a stable and convergent scheme. This program will provide the powerful scientific computing for theoretical researches and practical applications of stochastic fractional diffusion models.

众所周知，由于各种随机扰动的存在，在科学和工程中用分数阶微分方程描述的许多现象都具有一定的不确定性。因此，随机分数阶微分方程已成为一种十分有效的建模工具来描述这些具有非局部性和随机扰动的现象和过程。但就目前来看，求解随机分数阶微分方程的数值算法还非常少。基于此，本申请项目致力于研究随机分数阶扩散方程初边值问题的数值算法，进行相关的数值理论分析，并用数值实验来验证算法的理论结果和计算性能。具体地，我们将研究随机过程和分数阶导数在同一个方程中的数值离散问题、带乘性维纳过程的随机空间分数阶扩散方程的数值方法以及带乘性时空白噪声的随机时空分数阶扩散方程的数值方法。该项目的研究难点是我们必须选取或设计出适当的离散方法来对不可微的随机过程和非局部的分数阶导数进行离散，确保获得稳定且收敛的数值格式。该研究将为随机分数阶扩散模型的理论研究和实际应用提供科学计算的支持。

在科学和工程中，由于各种随机扰动的存在，用分数阶微分方程描述的许多现象都具有一定的不确定性。因此，随机分数阶微分方程已成为一种十分有效的建模工具来描述这些具有非局部性和随机扰动的现象和过程。本项目致力于研究随机分数阶微分方程的数值算法，进行相关的数值理论分析，并用数值实验来验证算法的理论结果。具体地，研究了一类带有多项分数阶Caputo导数的非线性随机微分方程初值问题的解的适定性，并构造了该方程的Euler-Maruyama (EM)格式；然后，对一类多项Caputo分数阶随机微分方程，设计了一个EM方法，并证明了其强收敛性。此外，基于把微分方程化成积分方程的思想，我们对分数阶波动方程的数值方法进行了系统地研究，主要成果有：(1) 对二维的时间分数阶非线性波动方程构造了两个ADI格式。在这两个格式中，使用标准的二阶中心差分逼近来进行空间离散，使用标准的一阶逼近来离散时间方向的Riemann-Liouville积分。详细地证明了格式的可解性、无条件稳定性和收敛性；(2) 分别对一维和二维的时间分数阶非线性波动方程构造了一个差分格式和一个ADI格式。该方法在时间进行数值离散时，只需相对较弱的光滑性假设。然后，证明了该类方法是无条件稳定的，并且在时间方向具有一阶精度，在空间方向具有二阶精度。基于指数和技巧，我们给出了该类格式的快速计算方法。计算结果显示：快速格式的计算效率与直接格式比起来具有压倒性的优势；(3) 对一类带有初始奇异性的多项和分布阶波动方程给出了一个超线性收敛的数值格式。在对空间分数阶导数采用中点求积公式离散后，为了能在均匀网格下获得超线性收敛的格式，我们在时间方向进行积分变换。然后，通过在时间方向采用Crank-Nicolson技巧和L1逼近，在空间方向采用分数阶中心差分逼近，来获得一个全离散的格式。接着，详细地证明了格式的稳定性和超收敛性。上述研究成果将为随机分数阶模型的理论研究和实际应用提供科学计算的支持。