具有非光滑解的分数阶初边值问题的数值方法

The fractional operators are nonlocal with weakly singular kernels, which makes the fractional models more complicated than the classical ones. Hence, the solutions of fractional models are also more complicated and they are generally nonsmooth. Although a lot of numerical methods have been proposed to solve fractional differential equations (FDEs), the analysis of these numerical methods has focused mainly on smooth solutions to the considered FDEs. Actually, when we apply these existing methods to solve FDEs, they are often not efficient due to the nonsmoothness of the analytical solutions that leads to low convergence rates. This project aims to develop both theoretical and numerical analyses on the solutions of fractional initial or boundary value problems with nonsmooth solution. In order to resolve the singularity of nonsmooth solutions, first ,we can construct high order collocation methods based on some special non-uniform grids. Also, we can regularize the solution by suitable smoothing transformations, after that the transformed equation can be solved by some high order numerical method. An extension of both the theoretical and numerical results to fractional partial differential equations will be made.

由于分数阶微积分是带有弱奇异核的非局部算子，使得分数阶模型相比较于整数阶来说更为复杂。而且分数阶模型的解析解通常也是比较复杂和非光滑的。虽然关于分数阶微分方程数值方法的文献非常多，但是大部分数值方法的分析都是基于所求方程具有充分光滑解的假设前提下。但实际上由于解析解缺乏光滑性，很多对于整数阶方程比较有效的数值方法对于分数阶方程来说往往表现出比较低的收敛阶。本项目旨在从理论和数值分析上去研究带有非光滑解的各种分数阶初边值问题。为了克服解的奇异性质，首先我们可以通过构造一些基于特殊非一致网格的高阶配置方法。其次我们也可以通过一些适当的解的光滑变换来提高解的正则性，然后对变换后的方程构造一些高阶的数值方法。最后将上述理论和数值结果推广到分数阶偏微分方程中。

分数阶微分方程(FDES)最近在工程、物理学、生物学和数学领域受到了广泛关注，因为它们具有非凡的建模能力，可以描述现实世界中观察到的某些异常输运现象。然而与更成熟的整数阶方程相比，分数阶微分方程具有许多共同特征，但也存在一些显著且重要的区别和额外的技术挑战。一个明显的特征是，由于算子的非局部性和相关核的弱奇异性，即使所提供问题数据是光滑的，解析解通常也包含弱奇异性。这些新特性对例如数学分析、数值分析、逆问题和最优控制等相关领域提出了许多突出的挑战，这激发了对包含一个或多个分数导数的微分方程的数学研究，所以FDES的相关数学理论还远未完成，这是这个项目的主要目的。. 通过本项目的支持，我们研究了几种带有非光滑解的积分方程和积分微分方程的高精度数值算法，通过严格的分析手段和数值实验，我们最终获得了一些比较不错的理论和数值结果，而且这些结果最后都以论文的形式呈现。本项目研究的模型问题直接或间接来源于航空航天、自动控制、神经网络及计算生物等一系列与国防和现代化紧密相关的高科技领域，所获结果将在上述重要科技领域具有广泛的应用前景，而且进一步的丰富和发展了具有非光滑解的积分微分方程的理论内容。