Zakharov型方程的若干问题研究

The project intends to study some mathematical problems of Zakharov type systems. The systems we are going to investigate are the magnetic Zakharov system and the quantum Zakharov system, both of which are used to describe the interactions between the waves and the particles in plasma physics, and they play a particularly important role in intese laser plasmas and quantum plasmas. In this project, we will give a deep study on the problems about singular limit and convergence rate of the magnetic Zakharov system, as well as global well-posedness theory and long time behavior of the quantum Zakharov system. In order to obtain the desired mathematical results about these two systems, we will use Sobolev spaces, semigroup theory and morden harmonic analysis theory to study these problems systematically, by combining energy estimates, compactness methods, dispersive estimates and so on. The contents of this project are not only advancing and of great importance in theories, but also of wide range applications in practice.

本项目拟对Zakharov型方程的若干数学问题展开研究。研究的模型主要是磁场Zakharov方程和量子Zakharov方程，它们都是等离子体物理中用来描述波与粒子相互作用的非线性动力学模型，在强激光等离子体和量子等离子体中具有极其重要的应用。本项目将对磁场Zakharov方程的奇性极限和收敛速度以及量子Zakharov方程的整体适定性和长时间性态等问题进行深入的探讨。我们将利用Sobolev空间理论、半群理论和现代调和分析理论，以及综合运用能量估计、紧性方法和色散估计等技巧来系统地研究这些问题，从而获得关于这两类方程的相关数学理论成果。所研究内容不仅具有前沿性和重要的理论意义，更具有广泛的应用价值。

本项目主要研究Zakharov型方程的数学理论问题。该方程可用来描述等离子体中波与粒子间的非线性作用现象，在强激光等离子体和量子等离子体中具有极其重要的应用。通过建立耗散型方程在Fourier 限制型空间中的线性和非线性估计，我们证明了一类向量型磁场Zakharov方程的低正则适定性理论; 运用精细的能量估计、空间截断技巧及惠更斯原理，得到了广义Zakharov方程收敛于非线性Schrodinger方程的最佳收敛速度并给出了其与第一初始层、第二初始层之间的具体依赖关系；利用逼近讨论、正则化技巧及物理守恒量，证明了带分数次色散效应的Zakharov方程光滑解的整体存在唯一性结果; 根据能量估计和解算子的分解技巧，获得了量子Zakharov方程在无界区域上整体吸引子的存在性结果。此外，利用细致的先验估计技巧和积分方法，证明了一维简化磁流体方程和轴对称下三维可压Navier-Stokes方程自由边界问题整体强解的存在唯一性，以及给出了斥力型Euler-Poisson方程解的爆破准则。. 上述研究成果填补并丰富了现有的关于这些物理模型的相关数学理论，并为相关的数值计算和后续理论研究工作奠定了基础。