Hardy-Littlewood-Sobolev 型方程组的若干问题研究

We study the existence, non-existence, and asymptotics of solutions to the Hardy-Littlewood-Sobolev type and Schrodinger type systems of equations. These equations are useful in geometric analysis as well as in the calculus of variations. In fact, the "blow-up" equations or the Yamabe problem and the prescribing scalar curvatures problem are special cases of them.. We aim at establishing the nonexistence in the subcritical case for HLS type equations and the asymptotic property for the singular HLS type equations. The importance of the nonexistence in the subcritical case is due to the well-known Lane-Emden conjecture. Recently, Chen, Lei, Li, Mitidieri, Serrin, Souplet, Zou made a lot of progress on the Lane-Emden conjecture. Especially, Souplet(Adv. Math 2009) proved Lane-Emden conjecture is true for 4-dimension case and obtained a new region for the non-existence for n>4 dimension case. In our proposal, we want to prove the Lane-Emden conjecture for 5-dimension case by exploiting the properties of Pohozaev identity and using the property of the coefficients of the equation are constants. Even more, we want to prove the whole Lane-Emden conjecture. . An essential and major aim of this proposal to increase the research ability of proposer and young graduate students by weekly group discussions, joint study of frontier research paper, frequent workshops. Leading proposer toward broader and deeper understanding of mathematics through collaborative research is also an important goal here.

本项目主要研究Hardy-Littlewood-Sobolev(HLS)型方程组解的定性性质，例如解的存在性，不存在性，解在奇点附近的渐进行为，解在无穷远附近的渐进行为等。研究主要应用于几何分析，泛函分析，理论物理等。.我们将进一步发展和利用移动平面法，Pohozaev 恒等式，能量积分估计等来解决HLS型方程组在次临界情形下的不存在性，从而能够部分解决 Lane-Emden猜测，并利用次临界情形的Liouville型定理给出有界区域上椭圆方程组的先验估计。同时我们研究HLS型方程组在奇点附近的渐进行为。Chern-Simons-Higgs方程组解的存在性也是我们研究的目标。期望通过该项目能够向国际著名的学者学习以及合作交流，从而提高自己的学术水平。

本项目主要研究半线性椭圆方程中的Hardy-Littlewood-Sobolev型方程以及Chern-Simons-Higgs方程解的定性性质，其中包括解的存在性和不存在性、解的对称性、解的渐进性以及解的唯一性等方面的问题。取得的成果主要包括: 1. 将移动平面法在不同方面进行了推广。2015年JDE的文章推广方法应用到了高阶特征蜕化的椭圆型方程，并得到了带孤立奇点的高阶蜕化椭圆型方程的最大模原理。2017年CCM的文章，通过建立分数阶的Laplacian方程的最大模原理，对分数次方程的移动平面法进行了推广。我们相信这些推广在以后的研究中会继续起到相应的作用。2. Chern-Simons-Higgs（CSH）方程方面的研究。 2015年JDE的文章对一类“涡点”坍缩的方程给出了拓扑解的唯一性。这对研究CSH方程的“涡点”动力学行为可能会有一定的帮助。2016年IUMJ的文章对一类特殊的“斜”对称的CSH方程给出了一般“涡点”条件下的非拓扑解的存在性。在此过程中建立的新的Brezis-Merle型3择性定理对未来的研究会起到帮助作用。