等离子体中几类方程的数学理论研究

There are many important models in mathematics to describe plasmas, such as two-fluid system, Euler-Poisson system, Zakharov system and Boltzmann equation. All these models are now becoming the hot objects in the field of partial differential equations. This project aims to study some important models arising from plasmas. In particular，we will give a deep study on the stability of 1D Euler-Poisson system with general pressure, the existence of global smooth solutions for the simplified two-fluid system and the quasilinear Zakharov system, and the well-posedness theoy of quantum Zakharov system in vectorial form, as well as the related problems of blow up, limit behavior and long time asymptotism. We will apply classical PDE theory and morden harmonic analysis theory to investigate these problems systematically, combined with energy methods, frequency splitting technique, space-time resonance method and decay estimates. The contents under study are not only of great importance in theories, but also of wide range applications in practice.

等离子体有许多重要的数学模型，如双流体力学方程组、Euler-Poisson方程、Zakharov方程，Boltzmann方程等，它们现都成为偏微分方程领域的热点研究对象。本项目拟对等离子体中的几类重要方程开展研究，特别地，我们将对一般压力情形下一维Euler-Poisson方程的稳定性、简化双流体力学方程组解的存在性、拟线性Zakharov型方程整体光滑解的存在性和向量型量子Zakharov方程的适定性，以及与之相关的爆破、极限行为、长时间性态等问题进行深入的研究。我们将利用经典PDE理论和现代调和分析理论，并综合运用能量估计、分频技术、时空共振方法、衰减估计等技巧和方法来系统地分析这些问题。所研究内容不仅有重要的理论意义，同时具有广泛的应用价值。

在对等离子体的流体描述和动理学描述过程中，可推导出一系列丰富的数学模型。本项目主要研究了简化双流体力学方程组、非局部非线性Schrödinger方程、短脉冲方程、浅水波系列方程、磁流体方程等模型，对解的适定性、衰减估计、爆破准则、粘性极限等数学问题开展了研究。. 运用耗散型结构特点和电场profile分析技巧，同时利用导数非线性项所蕴含的空结构特点，获得了解的能量范数、衰减范数和加权范数的封闭估计，并证明了简化双流体力学方程组解的整体存在性及衰减性结果；通过正则化与逼近分析及构造二阶守恒量，得到了复值超短脉冲方程解的整体存在性；利用时空共振方法、能量估计、加权范数估计和衰减估计，得到了非局部非线性Schrödinger方程在二维和三维情形下整体解的存在性结果；较为系统地研究了带三次非线性项的新浅水方程（修正的Camassa-Holm-Novikov方程和两分量Novikov方程）的一些问题，得到了解的适定性、爆破机制、解析性、一致衰减性等结果；证明了当初始动量的积分在某点变号时二元Dullin–Gottwald–Holm方程解的有限时间爆破结果；利用精细的能量方法，证明了当初始的切向磁场非零时且密度在常数函数附近的小扰动下，二维非齐次不可压磁流体的边界层方程在加权Sobolev空间中解的局部存在性和唯一性。此外，本项目还讨论了一维可压缩磁流体模型在有界区域内解的收敛极限问题、分数阶扩散不可压缩磁流体模型的衰减估计问题及二维粘性系数依赖温度的热带气候模型的全局解存在性问题。. 上述研究成果填补并丰富了现有的关于这些物理模型的相关数学理论，并为相关的数值计算和后续理论研究工作奠定了基础。