抛物型特殊拉格朗日方程若干问题的研究

The project is on the research of the existence of minimal Lagrangian diffeomorphism in Euclidean and pseudo-Euclidean spaces and some related problems. Firstly, the existence of minimal Lagrangian diffeomorphism between smooth bound domains can be converted into the second boundary value problem of some special Lagrangian equations and then study the special Lagrangian equations of parabolic type, such that the stable solutions are what we need. Secondly, the short time existence can be obtained by the Implicit Function Theorem and the theory of linear partial differential equations of parabolic type, and then by doing a priori estimate for the arbitrary order derivative of the solutions we can get the long time existence and convergence of the heat flow. Thirdly, we introduce a new class of modified-Hessian equations of parabolic type, closely related to the Optimal Transportation Equation and study the long time existence and convergence of the flow. Fourthly, we consider the Cauchy problem of the special Lagrangian equation of parabolic type on the long time existence and convergence of the flow , and study the rigidity theorems for Lagrangian self shrinkers. The project is to be originated and provides some new idea and approach to the study of special Lagrangian geometry and Optimal Transportation problem and it's first time to study the Lagrangian mean curvature flow wth second boundary conditions . It's of great value to Partial Differential Equation and Differential Geometry.

本项目拟研究欧氏与伪欧氏空间中的拉格朗日极小微分同胚的存在性及其相关问题。首先，把有界光滑区域间的拉格朗日极小微分同胚的存在性问题转化为一类特殊拉格朗日方程第二边值问题，然后考虑相应的抛物型特殊拉格朗日方程，使得这类抛物型方程对应的稳态解是以上完全非线性椭圆方程第二边值问题的解。其次，用反函数定理研究热流的短时间存在唯一性，然后对解的各阶导数做全局的先验估计，从而得到该类热流的长时间存在性及收敛性质。然后，在以上研究的基础上，考虑一类与最优传输方程密切相关的完全非线性抛物型Hessian方程的第二边值问题的存在性和长时间收敛性。最后，研究抛物型特殊拉格朗日方程柯西问题的长时间存在性和渐近性质以及其自相似收缩孤立子的刚性定理。该项目结果新颖，将为特殊拉格朗日几何和最优传输相关问题的研究提供新的思路与方法，开创性对拉格朗日平均曲率流第二边值问题进行研究，对方程和几何的研究都有深远意义。

本项目研究了欧氏与伪欧氏空间中的拉格朗日极小微分同胚的存在性及其相关问题。首先，把有界光滑区域间的拉格朗日极小微分同胚的存在性问题转化为一类特殊拉格朗日方程第二边值问题，然后考虑相应的抛物型特殊拉格朗日方程，使得这类抛物型方程对应的稳态解是以上完全非线性椭圆方程第二边值问题的解。其次，用反函数定理研究热流的短时间存在唯一性，然后对解的各阶导数做全局的先验估计，得到该类热流的长时间存在性，利用在研究过程中得到得一类完全非线性抛物方程得收敛性定理得到目标方程对应得解的收敛性质。与此同时, 也考虑另外一条技术路线, 利用连续性方法也得到一类特殊拉格朗日方程第二边值问题解的存在性正则性和唯一性。然后，在以上研究的基础上，考虑特殊拉格朗日方程自相似收缩孤立子的刚性定理。该项目结果新颖，在国际著名数学期刊发表和接收论文10篇左右，将为特殊拉格朗日几何和最优传输相关问题的研究提供新的思路与方法，开创性对拉格朗日平均曲率流第二边值问题进行研究，对方程和几何的研究都有深远意义。