退化型抛物方程若干问题研究

Degenerate partial differential equation is one of the most essential and active problems in partial differential equations and the related fields. This project is aimed to investigate the existence mechanisms and the asymptotic behavior of degenerate parabolic equations. The prototype of problems considered here are parabolic equations with degenerate diffusion coefficients and equations with degenerate coercivity. We will try to reveal the influences of the degenerate operator，zero order nonlinear terms and the regularity of the data involved on the existence mechanisms and the asymptotic behaviors. To the aim, we will explore elliptic and parabolic capacity theory to describe the singularity of the initial data and forcing terms. Then through smooth approximations, some proper a priori estimates and compactness theories, we investigate the existence and non-existence results for those two problems. Next, using proper decompositions, bootstrap arguments, asymptotic a priori estimates and some further techniques in regularity theory, we establish some delicate regularity results on the solutions, by which and the measure of non compactness we investigate the compactness of the solution semigroup and the trajectories, and finally the existence of global attractors and the convergence of the trajectories to stationary states. This project is of great theoretical and practical importance for us to understand the existence mechanisms as well as the evolution of nonlinear degenerate parabolic equations.

退化型偏微分方程是目前偏微分方程及相关领域较为热点、活跃的研究课题之一。 本项目以带退化耗散系数和带退化强制主部算子的两类非线性抛物方程为基本模型，研究退化型抛物方程解的存在性机制和渐近行为，重点考查方程中主部算子的退化程度，非线性项的增长次数以及外力项（初始值）的正则性对方程解的存在性机制和动力学行为的影响。为此，研究适当的椭圆与抛物容量理论，并利用其来刻画外力项和初始值的奇异程度，进而通过光滑逼近、适当的先验估计和紧性定理来讨论两类抛物方程解的存在性与不存在性问题；利用方程分解、渐近先验估计、迭代等方法建立解的正则性估计，结合非紧性测度等研究两类方程的解半群及解轨道的某种紧性，进而讨论全局吸引子存在性及解轨道向平衡点的收敛性。本项目的研究内容属于非线性分析、偏微分方程以及动力系统的交叉领域，对于深入认识退化型抛物方程解的存在性机制及渐近行为具有重要的理论和实际意义。

退化型偏微分方程广泛地产生于弹性力学、流体力学、图像处理等诸多应用领域，是目前偏微分方程及其相关领域极为重要而活跃的研究方向之一。 具可积函数或Radon 测度的偏微分方程，广泛地出现在一些物理模型、控制问题以及海洋和大气科学的湍流问题中,一直是偏微分方程领域较为热点的研究方向之一。目前关于带可积函数或Radon测度的椭圆和抛物方程的研究仍然十分活跃，新的结果也在不断地涌现。然而目前关于带低正则值退化型偏微分方程解的存在性及相关问题的研究结果还较为少见。由于方程的退化性，原有的许多方法和技巧并不能直接应用于一些退化型方程。..本项目主要以带退化耗散系数和带退化强制主部算子的两类非线性抛物方程为基本模型，研究外力项和初始值为可积函数或一般Radon测度值的退化型抛物方程解的存在性机制和渐近行为，重点讨论退化方程中主部算子的退化程度，非线性项的增长次数以及外力项（初始值）的正则性对方程解的存在机制和动力学行为的影响。我们利用光滑逼近、适当的先验估计和紧性定理来讨论了外力项为可积函数甚至是一般Radon测度的两类非线性抛物方程解的存在性与不存在性问题；我们利用方程分解、渐近先验估计、迭代等方法建立解的正则性估计，结合非紧性测度等工具研究了外力项、初始值为可积函数甚至Radon测度等低正则值的非线性退化抛物方程解半群及解过程族的某种紧性，进而讨论了相应全局吸引子的存在性问题。本项目的研究内容属于非线性分析、偏微分方程以及动力系统的交叉领域，对于深入认识退化型抛物方程解的存在性机制及渐近行为具有重要的理论和实际意义。