多型分枝随机游动在依时随机环境中的渐近性质

As a generalization of the classical branching random walk, the multi-type branching random walk is one of the main models to study the population properties of multiple species together with their movements. It is an important branch of probability theory and stochastic processes, and is widely applied to the study of other probability models, such as random fractals, multiplicative cascades, quicksort algorithm, etc. It is also used in many other disciplines, such as physics, biology, economics and computer science. In this project, we will consider the asymptotic properties of multi-type branching random walks on the real line with random environments in time, mainly including: 1) limit properties of the natural martingale, such as the existence of moments, convergence rate, tail probability, regular variation and the local dimensions of the Mandelbrot’s measure; 2) limit theorems of the counting measures, such as the law of large numbers, central limit theorems, large deviation results, law of iterated logarithm, etc. Our research will greatly help us for a deep and full understanding of the model of branching random walk. Moreover, the results that we will obtain and the methods that we will develop will significantly enrich and expand both the theoretical aspects and the application areas of the topic; they will also provide a good scientific reference for related fields, making the project be valuable both in theory and in applications.

多型分枝随机游动是经典的分枝随机游动的推广，是研究多物种种群性质和迁移的一个主要模型，是概率论和随机过程研究领域内的重要组成部分。它不仅在随机分形、乘积瀑布、快速排序算法等概率模型的研究中有广泛的应用, 而且在物理、经济、生物和计算机科学等学科有着很浓厚的应用背景。在本项目中，我们将研究直线上的多型分枝随机游动在依时随机环境中的渐近性质，包括该过程中自然鞅的极限性质（包括矩存在条件、收敛速度、尾概率和尾正则性估计、由鞅诱导的边界测度的维数），以及该过程中计数测度相应的极限定理（包括大数定律、中心极限定理、大偏差定理、重对数率等）。本项目的研究将有助于我们深入理解依时随机环境中多型分枝随机游动这一模型的极限性质，而且研究过程中使用的方法和获得的相关结论将在很大程度上丰富和拓展分枝随机游动这个大课题的理论研究和应用范畴，同时也为相关随机过程极限性质的研究提供科学参考，具有很好的理论和应用价值。

多型分枝随机游动是经典的分枝随机游动的推广，是研究多物种种群性质和迁移的一个主要模型，是概率论和随机过程研究领域内的重要组成部分，在理论和实际中都有很重要的意义与应用。本项目中，我们重点考虑了多型分枝随机游动在依时随机环境中的渐近性质。我们的研究分两个方面进行。一方面我们从该过程生成的自然鞅出发，研究该鞅的极限性质，给出了鞅的Lp收敛条件和收敛速度，以及鞅极限的（加权）矩的存在性条件，找出了其一致收敛区域，并得到了鞅极限的尾部概率估计；通过该鞅极限构造Mandelbrot测度，并给出了其支撑集的局部维数。另一方面我们从该过程的计数测度出发，利用第一部分构成的自然鞅的收敛性，通过研究分配函数和边界的渐近性质，获得了该计数测度的中心极限定理。我们还对随机环境中复域上的分枝随机游动模型进行了研究,获得了相关的结论。. 本项目的研究引入了型和随机环境，对经典的分枝随机游动的极限性质进行了推广与补充，有助于我们全面深入的理解依时随机环境中多型分枝随机游动这一模型的极限性质。我们的研究方法和相关结论在一定程度上丰富和拓展了分枝随机游动这个大课题的理论研究和应用范畴，同时也为相关随机过程极限性质的研究提供了科学参考，具有很好的理论和应用价值。