依时随机环境中的实值分枝随机游动的极限定理

This project is to investigate limit theorems and related asymptotic properties for R^d-valued branching random walks with random environments in time. Firstly we concentrate on the case where the space dimension d=1. By studying the convergence rates and the uniform convergence of the intrinsic martingale, as well as the existence of the moments of its limit and some other asymptotic properties, we object to establish systematically limit theorems, including central limit theorems, large and moderate deviation principles , for the counting measure of individuals of the n-th generation and the logarithm of its partition function. Then we generalize the obtained results to the case where d≥2. Considering the application backgroud of the model, the results will be used to interpret and analyze some concrete examples such as plant reproduction, cell aging and parasite infection and so on...Currently there is just a little research on R^d-valued branching random walks in random environments. This project is devoted to generalize the limit theories for classical branching random walks by considering random environments in time and raising the dimension of the value space. Hence we not only need to develop the existing tools and methods, but also need to explore new approaches. Our work will not only enrich and develop the research contents of branching random walks, but will also provide a reference to the research on the limit theories for related stochastic processes.

本项目拟研究依时随机环境中在实数空间R^d中取值的分枝随机游动的极限定理及相关渐近性质。我们首先考察空间维数d=1的情形。通过研究内在鞅的收敛速度、一致收敛性以及其极限的矩的存在性等渐近性质，对第n代个体的计数测度及其分配函数的对数化系统地建立起包括中心极限定理、大偏差和中偏差原理等在内的极限定理。之后再把所得结果推广到d≥2的情形。考虑到模型的应用背景，所得结果将用于解释和分析如植物繁衍、细胞老化、寄生虫感染等具体实例。..目前关于随机环境中在R^d中取值的分枝随机游动的研究还很少。本项目致力于在加入依时随机环境方面和提高取值空间维数方面对经典分枝随机游动的极限理论进行推广，不仅需要发展已有的工具和方法，还需探寻新的方法。因此我们的工作不但将丰富和发展分枝随机游动这一大课题的研究内容，同时也将为其他相关随机过程的极限理论的研究提供参考。

依时随机环境中的分枝随机游动的模型提炼自具体生物和生态学实例，如植物繁衍、细胞老化和寄生虫感染等，具有广泛的应用价值。在本项目中，我们着重考虑依时随机环境中在d维实数空间中取值的分枝随机游动，主要研究关于其中第n代个体的计数测度的极限定理和内在鞅的收敛情况。我们研究并发现了鞅的Lp收敛条件和收敛速度以及其极限的矩的存在性，找到了其一致收敛的区域，并建立起关于鞅的偏差不等式和指数不等式。通过研究分配函数和边界点的渐近性质，并利用鞅的收敛性，我们对计数测度建立起系统的极限定理，包括：（1）适用于空间维数d=1情形的中心极限定理以及相应的局部极限定理；（2）适用于空间维数d=1情形的大偏差原理和适用于d≥2情形的大偏差结果；（3）适用于空间维数d≥1情形的中偏差原理。..本项目的意义在于在加入依时随机环境方面和提高空间维数方面对经典分枝随机游动的极限理论进行了改进和推广。 我们的工作不但丰富和发展了分枝随机游动这一大课题的研究内容，同时也可为涉及到随机环境或分枝行为的其他相关随机过程的极限理论的研究提供参考。