Banach空间中的完备集

Complete sets in Banach spaces is a class of special bouned closed convex sets which extends the class of sets of constant width in the n-dimensional Euclidean space. Although this class of sets received great attention in the last ten years, many related problems are still open. In view of this, we investigate characteristic property of spaces where each complete set is of constant width (providing geometric characterization of this class of spaces is a problem open for almost 50 years), try to characterize spaces having complete sets without interior points and spaces having complete sets contained in a closed hyperplane, introduce new geometric constants to measure the maximal non-symmetry of complete sets in a Banach space and try to clarify the relation between the value of this constant to the property of the underlying space, study the property of complete sets with respect to set addition and try to characterize spaces where the addition of a complete set and a ball is still complete, search for new methods for completing a bounded sets and discuss their stability with respect to Hausdorff distance, characterize sets having a ball or a set of constant width as a completion, and try to answer the question whether a reduced complete set is of constant width.

完备集是Banach空间中一类特殊的有界闭凸集，是n维欧氏空间中等宽集的推广。虽然此类集合的性质，特别是它们在有限维空间中的性质，近10年来受到同行学者的极大关注，但是有关此类集合的很多公开问题仍亟待解决。针对这一情形，本项目考察所有的完备集均为等宽集的空间的特征性质 (刻画此类空间的几何特征是持续了近50年的公开问题)，探讨什么样的无穷维空间中有不含内点的完备集、什么样的空间中有含于某个闭超平面的完备集；引入几何常数度量Banach空间中完备集的极大不对称性，并阐明完备集的极大不对称性与空间几何性质之间的关系；研究完备集关于集合加法的运算性质，并刻画完备集与球的和均为完备集的空间；寻找新的将有界集完备化的方法，并讨论相关方法关于Hausdorff距离的稳定性；刻画某个完备化集是球或者等宽集的有界闭凸集的特征；讨论完备集和不可缩集的性质，并厘清既是完备集又是不可缩集的集合是否一定是等宽集。

完备集是Banach空间中一类特殊的有界闭凸集，是n维欧氏空间中等宽集的推广。本项目考察所有完备集均为等宽集的空间的特征性质，探讨什么样的无穷维空间中有不含内点的完备集、什么样的空间中有含于某个闭超平面的完备集；引入几何常数度量Banach空间中完备集的极大不对称性等。相关研究工作近10几年来受到同行学者的极大关注。本项目主要在如下方面开展工作并取得一些有价值的研究成果：给出了赋范空间中有界集与其宽球包和紧球包的关系，刻画了有界集A及其紧球包的直径点集。基于前人的工作给出了有界集具有唯一完备化集的充要条件。在单射投影张量积的对角线空间的刻画等方面取得了一些进展。较系统的总结和分析了赋范线性空间中完备集相关问题研究的起源、发展历史以及最新进展，完成并发表了该方向的研究综述一篇。本项目累计发表学术论文25篇，已标注15篇，11篇Sci检索。另外受项目支持有一些工作也将逐渐完成，还会有一些文章发表。参加国内外学术会议60余人次，邀请国内外学者来校交流讲学30余人次，主持国内外学术交流活动3次，培养硕士研究生13人，获黑龙江省自然科学二等奖一项（参加），关于完备集的专著 1 部也已完成撰写并在作为研究生课程教材使用。