Banach空间中逼近Lipschitz映射的稳定性

The study of Lipschitz maps in Banach spaces is one of the central topics in functional analysis and it involves many branches of mathematics. In this project, we will study stability of Lipschitz maps by giving it a bounded disturbance. We will combine the method in study of ε-isometries with classical analysis to consider the following problems:.(1)stability of nosurjective ε-isometries in Banach spaces;.(2)stability of Lipschitz maps in Banach spaces;.(3)linearization of approximate Lipschitz maps;.(4)approximate Lipschitz embeddings.

Banach空间中的Lipschitz映射是泛函分析中经常研究的一类映射,它的研究联系着诸多数学分支。本项目通过对Lipschitz映射有界扰动的研究来讨论Lipschitz映射的稳定性问题。我们将研究ε-等距的方法同研究Lipschitz映射的传统分析方法有机结合起来，探讨和解决如下问题：.（1）Banach空间中非满ε-等距的稳定性问题；.（2）Banach空间中Lipschitz映射的稳定性问题；.（3）逼近Lipschitz映射的线性化问题；.（4）逼近Lipschitz映射的嵌入问题。

在本项目中，我们研究了Banach空间中某些映射的稳定性及其与Banach空间结构的关系等问题，主要得到了以下结果：.(1) 我们给出了一个由线性泛函所刻画的非满ε-等距的性质，证明了内射空间中的广义Figiel定理，并利用此思路给出了满等距映射Hyers-Ulam稳定性的一种新的证明方法。.(2) 证明了某些Banach代数中可逆元群的开子群上等距映射的Hyers-Ulam稳定性。.(3) 给出了Banach空间中具有广义Mazur交性质的一个充分必要条件。.(4) 讨论了非满ε-等距映射与Banach空间结构的内在联系，给出了ε-等距映射所保持的一些空间性质。.(5) 研究了Banach空间的万有稳定性质，给出了万有右稳定空间及可分万有左稳定空间的特征刻画。.(6) 研究了Banach空间中满足Fischer-Muszely方程的满映射的Lindenstrauss- Szankowski稳定性问题。.(7) 在修改了距离充分小时的扰动控制之后，考虑了Rassias稳定性问题，得到了相应的可加映射的表示及稳定性。.(8) 得到了关于可加映射及保持距离相等映射的一些超稳定性结果。