Banach空间局部几何性质的传递性及其量化研究

为了研究空间局部定性和定量性质与空间整体性质之间的关系并部分解决赋范线性空间中的Banach-Mazur旋转问题，通过两种方式研究空间局部性质对整体性质的影响：一是在假定空间的范数具有某种传递性 (包括传递性、几乎传递性、凸传递性和范数的极大性) 的条件下，考察相关局部性质对空间整体性质的影响；二是在不假定空间具有某种传递性的条件下，考察空间某些较强的局部性质对整体性质的影响。考虑的局部性质分为定性的性质和定量性质两类，具体内容包括：与广义正交性相关的点态性质和局部性质，与广义正交性相关的点态几何常数，其他点态几何常数和来源于欧氏空间中凸几何的相关点态性质。立足于广义正交理论，注重点态局部性质对整体性质的影响是本项目的特色。预期的相关成果对Banach-Mazuer旋转问题的解决、对我们更好的掌握空间局部数量性质和整体性质之间的关系具有重要的理论意义。

本项目围绕着1932年Banach和Mazur提出的Banach-Mazur旋转问题，按照研究计划取得了一些较重要的进展。一方面，我们证明若一个维数不小于3且几乎传递的实Banach空间包含一个I-向量，一个-IP向量，一个P-向量，或一个点态非方常数取值为根号2的单位向量，则该Banach空间是一个Hilbert空间；另一方面，我们证明若一个实Banach空间中存在一个等距反射向量，使得包含该等距反射向量的任意一个2维子空间的单位圆中均存在另一个等距反射向量使得连接这两个等距反射向量的劣弧的弧长与该单位圆周长的比值是一个不超过四分之一的无理数，则该Banach空间是一个Hilbert空间。我们在该方向取得的大部分结果改进了前人利用等距反射向量得到的Hilbert空间的特征性质。鉴于广义正交理论在这部分工作中的重要作用，我们还研究了赋范线性空间中毕达哥拉斯正交的圆唯一性，讨论了等腰正交的齐次性，并利用我们在该方向取得的成果刻画了两类特殊的有限维Banach空间并讨论了这些刻画关于Banach-Mazur距离的稳定性。除此之外，我们还研究了张量积空间的相关几何性质以及在有界集上弱连续的连续n-齐次多项式构成的空间的弱序列完备性，讨论了赋范平面上Cassini曲线的几何性质及其与空间几何性质之间的关系。与此同时，我们还研究了赋范线性空间中的完备集，将适用于欧氏空间的几种将集合完备化的方法推广到更一般的赋范线性空间当中；研究了完备集和不可缩集之间的关系，构造实例说明赋范线性空间中的完备集不一定是不可缩的，修正了前人的一个错误论断。项目组在上述方向发表学术论文13篇，其中12篇被SCI检索。..项目执行期间，项目组1名成员博士后出站，9名硕士研究生取得硕士学位；项目组承办了“第五届分析数学及其应用国际学术会议”，成立了哈尔滨理工大学“凸性及其应用研究所”；项目组成员受德国DAAD基金会资助赴德合作研究1人次。