关于Banach空间中的算子非紧性测度

This project intends to study measure of non-compactness of operators in Banach spaces. we will give a construction theorem of measure of non-compactness of operators, then we use this theorem to prove that every Banach space with infinite decomposition, in particular, admitting an unconditional basis has a measure of non-compactness of operators which is not equivalent to the Hausdorff measure of non-compactness of operators. A further answer to the "fundamental question" posed by Mallet-Paret and Nussbaum in 2011: for what infinite dimensional Banach spaces X, do there exist inequivalent homogeneous measures of noncompactness on X? Finally, the application of the results in the differential equation are given.

本项目拟研究Banach空间中的算子非紧性测度, 将在Banach空间上给出一个推广的球算子非紧性测度的构造定理, 利用此定理证明具有无限分解的Banach空间, 特别地, 具有无条件基的Banach空间上都存在着与球算子非紧性测度不等价的算子非紧性测度, 进一步回答了2011年Mallet-Paret和Nussbaum提出的“基本问题”: 在哪些Banach空间中, 存在着不等价的齐次非紧性测度?最后给出得出结果在微分方程中的应用.

1.证明了在Banach空间X中存在一个全保序的正线性满等距映射J将X中非空有界闭凸集构成的集族C(X)映到F(Ω),其中Ω为X*的闭单位球,赋予范数拓扑,F(Ω)为X*上所有连续且w*下半连续的次线性函数在Ω上的限制,接着证明了E(C)=\overline{J(C}-J(C)}和E(K)=\overline{J(K}-J(K)}均为Banach格,且E(K)为E(C)的一个格理想,商空间E(C)/E(K)为抽象M空间,进而序等距于Banach空间C(K\,)的一个子格,其中K为某一紧的Hausdorff空间..2.给出Hausdorff算子非紧性测度关于Hausdorff度量的一个刻画;接着给出l^p(1≤p<∞)空间中Hausdorff算子非紧性测度的计算公式;给出几种常见的算子非紧性测度等价的相关证明. .3.给出一个齐次算子非紧性测度的构造定理,并利用此定理证明出具有无限分解的Banach空间,特别地,具有无条件基的Banach空间上都存在着与Hausdorff非紧性测度不等价的齐次算子非紧性测度. .4.证明小算子空间上的算子非紧性测度都与球算子非紧性测度等价,在Banach空间中给出球算子非紧性测度的表示式,给出Banach空间的子空间算子非紧性测度与原空间算子非紧性测度的关系.