几类带跳随机微分方程的解析解分析与数值研究

For the initial value problem of some common kinds of stochastic differential equations in Science and Engineering (e.g,the stochastic pantograph differential equations with jumps, the impulsive stochastic delay differential equations), basing on our results of numerical analysis of the stochastic differential equations and considering the commonness and differences, we study the property of analytical solutions and make research on the convergence and the stability (including the mean square stability and the asymptotic stability) of the strongand weak implicit numerical methods. The purpose of this project is to enrich theresearch of the analytical solutions and the numeical solutions and provide applied and effective numerical methods.The project directly or indirectly derivesfrom the problem of system models in chemistry, physics, biology, medicine, economics, finance and insurance, neural network and automatic etc. Hence it has important theoretical significance and application prospects.

针对科学与工程中常见的几类带跳随机微分方程（即带泊松跳随机比例微分方程、脉冲随机延迟微分方程）初值问题，以项目组成员迄今获得的随机微分方程数值分析成果为基础，结合考虑确定性微分方程数值分析与随机微分方程数值分析之间的共同点与差异，研究强隐式数值方法、弱隐式数值方法及其整体误差，研究解析解性质和数值方法的稳定性（含均方稳定性、渐近稳定性）。本项目旨在进一步丰富随机泛函微分方程解析解研究与数值分析相关理论基础，为构造实用、高效的数值算法提供指针。本项目直接或间接来源于化学、物理、生物、医学、经济学、金融与保险、神经网络和自动控制等领域的系统建模问题，具有重要理论意义和广泛的应用前景。

本项目研究随机泛函微分方程解析解的性质，以及数值方法的收敛性和稳定性。具体内容包括：（1）针对脉冲随机微分方程，建立了平衡隐式方法的局部截断误差与整体截断误差之间的关系，获得了平衡隐式方法收敛阶的判别准则，并证明其收敛阶为1/2；进一步论证了强数值格式在同一条件下能保持解析解的均方稳定性，并且对弱数值格式也得出了同样的结论，数值实验中模拟隐式平衡方法和显式Euler-Maruyama格式，得出平衡方法稳定时步长范围比Euler-Maruyama格式要大。（2） 对随机延迟积分微分方程，应用隐式平衡方法，建立了数值格式收敛阶的判别准则，并证明其收敛阶为1/2；给出了强平衡方法和弱平衡方法均方稳定性的条件，在数值实验中，对比显式的Euler-Maruyama格式，在同一组参数系数下，精确计算出两种方法的稳定时最大步长，算例显示，隐式的数值方法的稳定性优于显式的数值方法。（3）针对非线性中立型随机比例延迟微分方程，建立了半隐式Euler-Maruyama方法的局部截断误差与整体截断误差之间的关系，获得了半隐式Euler-Maruyama方法收敛阶的判别准则，并证明其收敛阶为1/2。（4）针对由连续局部鞅驱动的倒向随机微分方程，在非Lipschitz条件下，通过构造一个Picard序列, Gronwall不等式, Bihari's不等式， 证明了解析解的存在唯一性。本项目共发表期刊论文7篇，其中SCI论文4篇，录用1篇EI。本项目所获结果丰富了泛函微分方程解析解理论与算法理论，具有很强的理论意义和重要的应用价值。