随机（时滞）微分方程数值逼近的渐近稳定性

Stability problems are international hot topics in the SD(D)Es fields in recent years. This project will study the following asymptotic stability problems: Firstly, we will first study the mutual relations of moment exponential stability and almost sure stability for exact solution and the corresponding numerical approximation (e.g. theta-EM type approximation) for the corresponding stochastic differential equations under the local Lipschitz condition. Then we will investigate the explicit criterion of the stability with arbitrary delay rates for the theta EM approximation. Moreover, we consider the polynomial stability for the corresponding numerical approximation of SDDEs with Markov switching, by the auxiliary function method and the scalar relations of the numerical approximation with it, the sufficient conditions of polynomial stability will be considered. Finally, we will consider the exponential stability of numerical approximation for pantograph SDEs without linear growth condition. Furthermore, we will consider the stability of other type numerical approximations (such as Milstein method or stochastic Taylor method) for SDDEs and more general stochastic functional differential equations. We hope to develop the SDEs theory by studying the above problems.

随机（时滞）微分方程的稳定性问题是近年来国际上的热门研究课题。本项目拟研究如下渐近稳定性问题：1.在局部Lipschitz条件下研究随机微分方程精确解和对应的满足特定条件的数值逼近（如theta-EM逼近）的矩指数稳定性和几乎必然指数稳定性的相互蕴含关系；2. theta-EM数值逼近具有任意衰减速度的稳定性的显式判别方法；3.结合已有的带Markov切换的随机时滞微分方程数值逼近的指数稳定性结果研究对应数值逼近的相对更弱的多项式稳定性，通过建立特殊的辅助函数及其与数值逼近的数量关系研究多项式稳定性的成立的充分条件；4. 在随机比例微分方程系数不满足线性增长条件的情形下研究对应数值逼近的指数稳定性。进而考虑其它类型（如Milstein方法、随机Taylor方法等）数值逼近的稳定性和更为一般的随机泛函微分方程数值逼近的稳定性。

本项目系统研究了随机（时滞）微分方程的数值解的收敛性和渐近稳定性。由于随机（时滞）微分方程可广泛应用于各个领域，因此其解的各种性质问题（比如各种收敛性和渐近稳定性）就成为概率论的前沿热点问题。然而又由于方程求解的复杂性，除极少数线性情形以外，对绝大多数随机（时滞）微分方程而言，即使精确解存在也很难得到其精确解的显式表达式，因此研究随机方程数值解的相应性质就变得十分重要。 我们主要研究了以下问题：1） 关于随机微分方程(SDE)的修正截断EM方法的强收敛速度，我们首先基于毛学荣教授的截断EM方法，提出一种新的数值方法——修正截断EM方法，进而研究了其分别在固定点处和在整个区间上强收敛到精确解的充分条件，并得到收敛速度；2）关于中立型随机时滞微分方程(NSDDE)的修正截断EM方法的强收敛速度，我们改进了毛学荣教授的结果（他们只得到了在固定点处的强收敛性而没有得到区间上的强收敛速度，而且比我们的条件更强），使得结论的应用范围更广； 3） 关于带切换的中立型随机时滞微分方程（NSDDEwMS）的精确解的一般衰减速度的渐近稳定性，我们给出了方程的精确解满足一般衰减速度的稳定性的显式判别条件；4） 关于时间依赖的随机时滞微分方程精确解及其对应的修正截断EM方法的均方多项式稳定性和几乎处处稳定性，我们分别对于有界时滞和无界时滞的情形给出了多项式稳定性成立的充分条件；5） 在扩散系数不满足线性增长条件下得到了中立型随机时滞微分方程的修正截断EM方法的均方指数稳定的充分条件，推广了已有文献的结果。