几类生态随机动力系统模型的算法研究与应用

For the initial value problems of some common kinds of stochastic differential equations in Ecology (e.g, the stochastic delay integro-differential equations;the stochastic Volterra integro-differential equations,the neutral stochastic delay integro-differential equations), in order to overcome the limit in the range of the stepsize, we introduce the implicit numerical methods (e.g., the balanced methods, (modified) split-step backward balanced methods, (modified) split-step backward double balanced methods, the composite Euler method et al. ). We study the property of analytical solutions and make research on the convergence under the local Lipschitz condition, and the stability (including the mean square stability, the asymptotic stability   and T-stability) of the implicit numerical methods. Futhermore, some numerical experiments illustrate the theoretical results. In order to show the implicit numerical methods are the superior schemes, we com-pare the numerical approximations of the explicit numerical methods versus those of the implicit numerical methods.The proposed schemes have the same order of convergence as the existing related schemes do. The implicit numerical methods reduce the restrictions on the step size and enlarge the range of the stepsize when the numerical methods are stable. The proposed schemes have an advantage over the exist-ing related schemes in the stability; Hence we have more general application of numerical algorithm. . The project directly or indirectly derives from the field of the ecology. It is of great theoritical significance and a wide range of applications to study numerical methods for them.

本课题针对生态学中常见的几类随机微分方程（即随机延迟积分微分方程、随机Volterra积分微分方程、中立型随机积分微分方程）的初值问题，针对非隐式数值方法稳定时对步长限制的问题，构造了有效的隐式数值方法(如平衡方法、(修正的)分步向后平衡方法、(修正的)分步向后双平衡方法、复合Euler方法等)，研究在非全局Lipschitz条件下隐式数值方法整体误差，解析解性质和数值方法的稳定性（含均方稳定性、渐近稳定性和T-稳定性），并对所得理论结果做数值模拟，与非隐式的数值方法进行优劣对比，突显其优越性，在不降低精度的前提下，隐式的数值方法减少了稳定时对步长的限制，扩大了步长的取值范围，我们所构造的算法在稳定性方面明显优于文献中相应的数值格式，使得数值算法应用性更普遍。. 本课题来源于生态学领域的模型，其研究成果将在生态学领域具有重要的应用价值。

本项目研究随机泛函微分方程数值方法的收敛性和稳定性。具体内容包括：（1）对于随机Volterra积分微分方程，研究了该方程平衡方法的收敛性，得到了收敛阶为1/2，并且研究了该数值方法的均方稳定性，证明了平衡方法在解析解稳定条件下也保持了均方稳定性。数值实验验证了这一理论成果。（2）对于随机变延迟微分方程，研究了平衡方法和指数欧拉方法的收敛性，得到了收敛阶为1/2，研究了该数值方法的均方稳定性，证明了平衡方法在解析解稳定条件下也保持了均方稳定性。最后数值实验验证了这一理论成果。（3）对于带泊松跳随机变延迟微分方程，研究了该方程平衡方法的收敛性，得到了收敛阶为1/2，研究了该数值方法的均方稳定性，证明了平衡方法在解析解稳定条件下也保持了均方稳定性。最后数值实验验证了这一理论成果。（4）研究了一类具有非选择性收获的波动水位下的捕食者-食饵模型。给出了两个种群持续生存和捕食种群灭绝的充分条件。给出了非负平衡点，并利用雅可比矩阵研究了它们的稳定性。通过构造适当的李亚普诺夫函数，得到了保证正平衡点全局稳定的充分条件。给出了系统的生物力学平衡和最优收获策略。通过数值模拟验证了主要结果的可行性。（5）研究了一类具有 holling 型 iiresponse 功能的食饵-捕食者模型,首先，获得了模型的所有可能的平衡点，并通过分析平衡点周围雅可比矩阵的特征值来讨论它们的稳定性。其次，可以观察到，该模型以恐惧为分支参数，在正平衡点处发生霍普夫分岔。通过对恐惧效应的分析，发现 (a)恐惧效应可以通过排除周期解来增强系统正平衡的稳定性; (b)增加近侧和近侧水平可以减少捕食者的最终数量; (c)恐惧效应对捕食者的持久性也有重要影响。通过数值模拟验证了理论结果的正确性。(6)研究了具有 holling iii 型功能反应和 preyshelter 的捕食者系统中，捕食者种群的恐惧引起的反捕食行为的影响。分析了系统的动态行为，包括系统的稳定性，并证明了霍普夫分岔在正平衡点附近的存在，以及存在通过霍普夫分岔出现的极限环。其次，通过对恐惧和避难效应的研究，发现恐惧水平的增加可以通过消除周期解提高系统的稳定性，减少生态平衡时捕食者种群的数量，但不会导致捕食者的灭绝，而食饵避难所对捕食者的持续生存也起着至关重要的作用。本项目旨在进一步丰富随机泛函微分方程数值分析相关理论基础，为构造实用、高效的数值算法.