扩散过程、非局部算子及其扰动

In recent years, the study of non-local operators plays an important role in Probability and Analysis area. From analytic point of view, they are defined by integrals over the whole space, hence hard to study certain properties. Thus, it is meaningful to study, from probabilistic point of view, the connection between non-local operators and diffusions, as well as properties under certain perturbations. This project can be further divided into three parts: (1) We study the relation between a class of non-local operators and traces of high-dimensional diffusions, and obtain several properties of this type of non-local operators as well, say comparison principle and Green function estimates, etc. (2) We study diffusions with Wentzell boundary, and firstly, we hope to get sharp two-sided heat kernel estimates, then discuss traces of this type of processes. (3) We study diffusions with jumps, which can be intuitively associated with the combination of local and non-local operators. We show that two-sided heat kernel estimates for a class of (not necessarily symmetric) diffusions with jumps are stable under non-local Feynman-Kac perturbations. This project discusses potential theory of non-local operators and diffusions in details, and will help us deeply understand and study the theoretical framework of this area.

近年来，非局部算子是概率与分析领域中的研究热点。从分析角度看，它是定义在全空间上以积分形式体现的算子，研究他们的特定性质是很困难的。因此，从概率角度研究非局部算子与扩散过程的联系并解读扰动下的性质是有意义的。本项目细分为三个方面：(1) 研究一类非局部算子与高维扩散过程轨迹的相关性，并且得到这类非局部算子的某些性质，如比较定理、格林函数估计等。(2) 研究带Wentzell边界的扩散过程，希望首先得到精确的双边热核估计，并进一步研究这类过程的轨迹。(3) 研究跳扩散过程，也可以看做是局部与非局部的混合算子。我们讨论混合算子在非局部Feynman-Kac扰动下，一类跳扩散过程（不一定是对称的）双边热核估计的稳定性。本项目详细研究了非局部算子以及扩散过程的位势理论，对我们深入了解这一课题的理论框架起到了帮助作用。

项目背景：扩散过程以及非局部算子是概率论领域中的一个重要研究方向，它与流体力学、电子场论、随机控制以及经济学等领域有紧密的联系，一直受概率论和数学物理等领域的重视。 .主要研究内容：.1）一维扩散过程逆局部时的研究。.2）对于带跳的扩散过程的研究。.3）研究了一类带有奇异跳的马氏过程的正则性，以及热核双边估计。.4）对于在流型上定义的三维可加噪声的大气海洋方程模型进行了渐进性质的研究。.5）研究了分数噪声驱动的随机大气海洋方程的解的指数稳定性质。.6）研究了随机Burgers方程在线性可乘噪声扰动作用下的解的存在唯一性。.重要结果以及科学意义：.1）对于一维扩散过程逆局部时的研究，改进了对于从属过程的刻画，完善使用了连续时间下的鞅理论，从而对于Feynman-Kac变换进行严谨性的证明。.2）对于带跳的扩散过程的研究，将这一类过程拓展到了更一般的跳过程研究，改进了重要的不等式的研究，从而可以研究一类非局部算子决定的过程在非局部变换下热核估计的稳定性。.3）解决了一大类带有奇异跳的马氏过程的热核估计问题，由于跳测度的奇异性，需要使用分析领域的技巧得到此类过程的性质，进而得到双边热核估计。进一步的，可以对有界区域上的此类过程分析狄氏热核估计上界。.4) 对于在流型上定义的三维可加噪声的大气海洋方程模型进行了渐进性质的研究。此结果具有一定的创新性，一方面在于流型拥有更复杂的几何结构，另一方面在于极大地改进了非随机模型相应的结果。.5) 对于分数噪声驱动的三维大气海洋方程，我们研究了指数稳定性，文章中成功地将动力系统的技巧应用到随机偏微分方程领域，延伸出来的方法和技巧具有较强的普适性，可广泛应于与其他类随机偏微分方程的研究。.6) 通过成功应用微分方程领域的极大值原理技巧，我们使用较为简短的证明，得到了可乘噪声驱动的二维随机Burgers方程的全局适定性。