无穷维动力系统吸引子相关问题研究

The existence and structure analysis of the attractor is one of the main problems in the infinite-dimensional dynamical systems. This project draws its motivation from two sources: on the one hand, taking the super-critical weakly dissipative wave equations that defined on the non-cylindrical domain as the model equations, we aim to develop new criterion about the asymptotical compactness and new theory about the attractors by studying the existence of attractors together with its dimension estimation and attraction speed estimation; on the other hand, by investigating the space-time chaotic behavior of dissipative dynamical system with local space structure and the singular limitation of stochastic dynamical systems, we aim to describe the structure and complexities of attractors, then to enrich the theory and method of infinite-dimensional dynamical systems. These problems, due to the lack of compactness and the complexity of systems, are very challenging and receive international concern. To carry out in-depth research on these problems, not only needs the innovation in theory and application, but also provide new ideas and methods in the related fields, especially promote the development, in both theory and application, of nonlinear analysis and infinite-dimensional dynamical systems.

吸引子的存在性及其结构分析是无穷维动力系统的主要问题之一。本项目一方面拟以定义在非柱形区域上的超临界弱耗散波方程为背景，研究这类方程的吸引子存在性、维数估计、吸引速度估计，来发展新的紧性准则和无穷维动力系统吸引子理论框架；另一方面以研究系统的时空复杂性和随机动力系统的奇异极限来刻画吸引子的结构变化和复杂性，丰富无穷维动力系统的理论和方法。这些问题由于紧性的缺失以及系统的复杂性，使得他们的研究极具挑战性，一直是国际上备受关注的前沿问题。对这些问题开展深入细致的研究，不仅需要在理论和应用上创新，而且必将为相关领域的研究提供新的研究途径和思想方法，对非线性分析、无穷维动力系统的理论和应用发展产生积极的推动。

吸引子的存在性及其结构分析是无穷维动力系统关注的主要问题之一。本项目一方面以非柱形区域上的偏微分方程，以及弱耗散、部分耗散等具体问题的研究来发展新的紧性准则和无穷维动力系统吸引子理论框架；另一方面以研究系统的时空复杂性来刻画吸引子的结构变化和复杂性。.本项目主要从“吸引子理论框架和渐近紧性判定准则”、“时空复杂性”以及“随机偏微分方程描述的无穷维系统的渐近行为”这三个主题展开研究。项目组经过四年的努力工作，在上述主题都取得了一定的进展和突破。关于“吸引子理论框架和渐近紧性判定准则”，我们以非柱形区域上的MHD方程、弱耗散波方程，以及部分耗散的Boussinesq系统为背景模型，建立了系统的理论方法并给出具体的应用，并在相应的临界指数问题、低正则问题都取得了进展。对于“时空复杂性”这一主题，我们从吸引子的Kolmogorov 熵出发系统研究了非自治系统的复杂性，以及从惯性流形出发，通过刻画系统的有限维约化来反映系统的复杂性，给出了系统的方法，几乎能涵盖现有的应用例子（关于无穷维耗散系统），并将继续坚持开展研究。对于“随机偏微分方程描述的无穷维系统的渐近行为研究”这一主题，我们主要从随机部分耗散系统出发来考虑这类系统的适定性、长时间行为，以及和经典的全耗散系统的比较，并取得了一定的研究成果。截止目前，基于本项目的研究，我们共正式发表学术论文17篇，另有3篇接收待发表；这些论文主要接收或发表在Math. Ann.，Izvestiya Mathematics，Trans. Amer. Math. Soc.，Indiana Univ. Math. J.，SIAM J. Math. Anal.，Proc. Amer. Math. Soc.，J. Differential Equations，Discrete Contin. Dyn. Syst.，J. Math. Phys.，J. Geom. Anal.等本领域主要期刊上。这些结果为揭示无穷维动力系统的特性提供新的角度，丰富了无穷维动力系统吸引子的理论和应用。