多项式代数及相关代数的消去性质与自同构和代数K理论

This project is concerned with cancellativity and structure of automorphisms for polynomial algebras and related algebras by means of Makar-Limanov invariant, Derksen invariant, discriminant, especially algebraic K-theory. (1) Developing algebraic K-theory of constant rings of special derivations and retracts of polynomial algebras and threefold algebras, we will examine how these rings are similar to the polynomial algebra and solve related problems in the field of affine geometry. (2) Determine cancellativity for some algebras in the field of affine geometry and their noncommutative analogues by means of Makar-Limanov invariant, Derksen invariant, discriminant, and algebraic K-theory. (3) Studying tameness of exponential automorphisms and tameness of automorphisms of noncommutative algebras, we will determine automorphism groups for some algebras.

本项目将利用Makar-Limanov不变量、Derksen不变量、判别式，特别是代数K理论等工具研究多项式代数及相关代数的消去性质及自同构的结构。（1）研究一些特殊多项式导子的常数环、多项式收缩、threefold代数的代数K理论，以此来考察这些代数与多项式代数的相似性，进而解决仿射几何领域中的一些相关问题。（2）利用Makar-Limanov不变量、Derksen不变量、判别式、代数K理论，确定一些有仿射几何理论背景的特殊代数及其非交换类比的消去性质。（3）研究一些指数自同构的tame性及某些非交换代数的自同构的tame性，进而确定某些代数的自同构群。

本项目主要研究多项式代数的自同态和导子，并在相关的群论、李代数和数论等领域开展了一些研究。.多项式自同态和导子与一些著名问题(如雅可比猜想、Hilbert第十四问题、群作用的线性化问题)有密切联系，描述多项式映射和导子的结构是一个基本问题。.证明了几类齐次Keller映射的tame性和co-tame性。利用可置换条件给出了给出了多项式映射可线性三角化的条件。给出了多项式代数在对称多项式上的判别式。对二元多项式代数的一类微分算子证明了广义消逝猜想。对于二元多项式代数的局部有限E-导子、三元多项式代数的秩为2的局部幂零导子及秩为3的齐次局部幂零导子、n元多项式代数的线性导子和线性E-导子及单项保持导子，证明了LFED猜想成立。.给出了有限群的p-超可解性的条件、正规子群的p-超中心嵌入性以及p-幂零性的条件，统一推广并简化了许多已知结果。.分类了特征0的代数闭域上的multiplier-rank≤6的有限维幂零李超代数；给出了二步幂零李超代数的伴随上同调的cup积是平凡的充分条件，计算了有限维Heisenberg李超代数的伴随上同调空间的维数；给出了维数≤6不可分的度量复李超代数的度量形变。.给出了一些Waring-Goldbach问题的例外集的估计，给出了因子函数和的渐进公式。.证明了由2维非迷向子空间及其交所定义的辛图是4-Deza图。