多项式代数及自由结合代数的自同构和导子

Around Tame Generators Problem this project investigates automorphisms and derivations of polynomial algebras and free associative algebras. (1) We intend to describe sets S of automorphisms such that S with the set of affine automorphisms generates the group of polynomial automophisms or the group of tame automorphisms. Using the structure of sets of multidegrees for tame automophisms studies the problem on existence of reduction of type II and III. (2) By means of theory of PI-rings we investigate the problem on lifting polynomial automophisms to ones of free associative algebras and how it is related to tameness. (3) We investigate Darboux polynomial, ring of constants, triangularization for polynomial derivations, locally nilpotent derivations and the automophisms induced by them to provide useful examples and counterexamples.

本项目围绕多项式自同构的tame生成子问题，研究多项式代数和自由结合代数的自同构和导子。（1）描述能和仿射群共同生成多项式自同构群或tame自同构群的自同构集合；利用tame自同构的多重次数集合的结构研究II，III型约化的存在性问题。（2）利用PI-环理论研究多项式自同构到自由结合代数的提升问题以及可提升性与tame性的关系。（3）研究多项式导子的Darboux多项式、常数环、三角化以及特殊局部幂零导子及其诱导的指数自同构，构造有用的例子和反例。

仿射几何主要围绕雅可比猜想、Zariski消去问题、tame生成子问题等几个著名问题开展研究。多项式代数的自同构、导子及收缩与雅可比猜想和Zarisk消去问题都密切相关。因此刻画多项式自同构、导子、收缩有重要意义。我们通过刻画多项式、Poisson代数和自由代数的几类收缩，描述了它们的一些自同构。利用Weyl代数和D模证明了特征p的高阶像猜想以及特征零的1维高阶像猜想。Ahbyankar证明了具有常值雅可比行列式的2维多项式映射，若在generic直线上是光滑的则必可逆。我们把"generic直线"的条件弱化为"某直线"，从而改进了Ahbyankar的结果。.环的特殊映射（如导子，加性映射等）在特殊子集上的性质会影响到整个映射。我们证明了矩阵代数的映射的加性可由其在某些特殊矩阵集合上的加性来确定，阐明了映射可加性对强保交换性的影响不大。我们还刻画了Armendariz群环。.Lusztig证明了PBW基与典范基之间的转换矩阵是主对角线元素为1的上三角矩阵，我们把这个结果推广到A_n型的半典范基，描述了A_n型的PBW基与半典范基之间的转换矩阵；建立了Auslander代数上不可分解模的投射维数与其Socle之间的联系，从而给出了Auslander代数的新刻画。