多项式代数上自同构的结构研究

The theory of automorphisms and derivations of polynomial algebras has deep roots in geometry, and is especially closely related to some problems in affine algebraic geometry, such as the Jacobian conjecture, the tame generators problem and the Zariski cancellation problem. . In the project, we will investigate the structure of automorphisms of polynomial algebras containing the following problems: (1) Study the structure of quasi-locally finite automorphisms, and consider the problem of whether the automorphism group of polynomial algebra can be generated by quasi-locally finite automorphisms; Study retracts of polynomial algebras, free metabelian algebras and free associative algebras, and describe automorphisms of categories of these algebras, where the investigations of polynomial retracts is helpful to the understanding of the Jacobian conjecture and the Zariski cancellation problem. (2) Study the problem of lifting polynomial automorphisms to free metabelian algebras and free associative algebras, and construct new types of tame or wild automorphisms of these algebras. (3) Study the problem of whether the images of the following differential operators on polynomial algebras are Mathieu subspaces: differential operators of order one with constant leading coefficients and locally nilpotent derivations. This problem arises from the investigation of the Jacobian conjecture.

多项式代数的自同构和导子理论具有深刻的几何背景, 特别是与仿射代数几何领域的Jacobi 猜想、Tame生成子问题、Zariski消去问题等密切相关. . 本项目围绕多项式代数上自同构的结构展开研究, 具体包括: (1)刻画拟局部有限自同构的结构, 考虑拟局部有限自同构是否构成多项式代数自同构群的生成集; 研究多项式代数、自由metabelian代数和自由结合代数的收缩，由此刻画这些代数的自同态半群的自同构和这些代数范畴的自同构, 其中对多项式代数收缩的刻画还有助于研究Jacobi猜想和Zariski消去问题. (2)研究多项式代数自同构到自由metabelian代数和自由结合代数的提升问题,构造这些代数上新的tame或wild 自同构类. (3)研究多项式代数上一阶常系数微分算子的像以及局部幂零导子的像是否为Mathieu子空间, 该问题源于Jacobi猜想.

多项式代数的自同构和导子理论具有深刻的几何背景, 特别是与仿射代数几何领域的Jacobi 猜想、Tame生成子问题、Zariski消去问题等密切相关. 本项目围绕多项式代数上自同构的结构展开了研究, 完成了以下内容: (1) 我们对一类局部有限自同构--局部幂零导子诱导的指数自同构进行了研究. 刻画了一些nice导子的结构, 在一些低维或低秩情形，证明了相应的多项式自同构可线性化，从而为tame自同构. (2) 研究了多项式自同构的提升问题. 给出了多项式代数的可加幂零自同构到自由metabelian代数的具体提升. 证明了多项式代数的稳定一个变量的自同构可以提升为自由metabelian代数上稳定一个变量的自同构. 构造了metabelian代数上不能提升到自由结合代数的自同构，从而这些自同构为wild自同构. (3) 微分算子与Keller映射的研究密切关系，我们研究了多项式代数上一类高阶微分算子的像, 证明了其必为Mathieu子空间. 该问题来源于Jacobi猜想. 此外，我们还研究了多项式代数的收缩的结构. Zariski消去问题与多项式代数的收缩是否同构于多项式代数这一问题密切相关. 我们引入了具有稀疏齐次部分的多项式收缩, 刻画了这类收缩的具体结构，证明了这类收缩必共轭于典范收缩同态，从而证明了它们诱导的收缩同构于多项式代数.