多项式代数和自由Poisson代数上的导子和自同构

Free Poisson algebras are naturally and closely related to polynomial algebras, free associative algebras, and free Lie algebras. Recently, the free Poisson algebra and Poisson brackets were used to solve the open problems in the area of affine algebraic geometry. Systematic studies of free Poisson algebras and the relations between free Poisson algebras and affine algebraic geometry have drawn much research interest, and several open questions are formulated. This project aims to study derivations and automorphisms on polynomial algebras and.free Poisson algebras. (1). Using ideas in free associative algebras, we want to extend some classical results in polynomial algebras, commutative algebras and free associative algebras to free Poisson algebras；(2). In this project we will study derivations and polynomial automorphisms by lifting polynomial algebras to Poisson algebras. In particular, we will study the ring of constants of derivations, Darboux polynomials and the degree estimate for polynomial automorphisms.

自由Poisson代数与多项式代数、自由结合代数、自由Lie代数等联系密切，并且自由Poisson代数的工具最近被用来解决仿射代数几何中的许多公开问题。关于Poisson代数结构本身及其在仿射代数几何中的应用的研究刚刚兴起，并有很多问题亟待解决。本项目旨在研究自由Poisson代数与多项式代数上的导子和自同构相关问题：(1) 用结合代数的思想将多项式导子和自同构理论以及交换代数和自由结合代数中的一些经典结果推广到自由Poisson代数上；(2) 将多项式代数嵌入到Poisson代数中，利用提升后的Poisson结构研究多项式代数上的导子和多项式自同构，特别是研究多项式导子的常数环、Darboux多项式和多项式自同构的次数估计。

本项目原计划研究多项式代数和自由泊松代数上的相关问题及多项式代数的应用。项目执行期间，研究内容基本按照原计划进行，同时也对一些计划外的内容作了扩展研究。.首先，研究了自由泊松代数与多项式代数上的导子和多项式映射的相关问题，得到了一些结果，例如：给出了辛泊松代数上的导子的结构，以及与雅克比猜测相关的问题。.其次，项目组研究了有限域上的多项式代数的一类应用，利用广义Reed-Solomon码、常循环码等构造了一些量子MDS码、纠缠辅助量子MDS码、最优量子卷积码、最优非对称量子码等。这些内容与多项式代数联系密切，例如常循环码实际是有限域上的多项式代数的一个商环的理想，其性质由生成多项式决定。这部分内容仍属于原计划的内容，拓展了多项式代数的应用。.同时，项目组利用局部化代数的方法研究了非交换几何中的Novikov猜测、Baum-Connes猜测等相关问题，证明了对一些特殊的群对，相应的强Novikov猜测、Baum-Connes猜测、Gromov-Lawson-Rosenberg猜测成立。这一部分内容属于本项目原计划外的一个新的扩展研究。.本项目的预期目标已经达成，项目组完成并投稿了8篇论文，由于基础数学方向论文审稿和发表周期较长，待发表后我们会将相关论文添加入项目成果中。项目执行期间招收硕士研究生11名，毕业研究生4名。项目组成员参加了多次学术会议和学术交流，并协助举办了一场国内学术会议。