度量空间中几类映射关系及相关性质的研究

The main aim of this project is to study the following problems:.(1) Freely quasiconformal（FQC） mappings in metric spaces: We shall first consider the subinvariant of uniform domains under FQC mappings by making use of local quasisymmetry and by constructing new special curves. As application of the obtained result we will consider the subinvariant of uniform domains under QH mappings. Also we shall discuss the relationship between CQH mappings and relative quasimobius mappings on uniform domains. We will work on this problem by constructing new special curves etc, and as application of the obtained result we will study the relationship between FQC mappings and quasimobius mappings on uniform domains. These will generalize the corresponding results in Banach spaces..(2) Quasisymmetric mappings and quasimobius mappings in metric spaces: We will aim at the alternative characterizations of quasisymmetric mappings and quasimobius mappings in metric spaces by construction, as applications of the obtained results we shall consider the relationship between quasisymmetric mappings and FQC mappings. These will lay a foundation for the further study of FQC mappings.. This study is very significant in theory.

本项目主要研究以下内容。（1）度量空间中的自由拟共形（FQC）映射：计划以局部拟对称映射为主要工具，通过特殊曲线的构造来讨论度量空间中一致域在FQC映射下的次不变性，作为应用将讨论一致域在QH映射下的次不变性。同时我们将讨论一致域上CQH映射与相对边界的拟Mobius映射的关系。 计划通过特殊曲线的构造等方法来展开，作为应用，我们将讨论一致域上FQC映射与拟Mobius映射的关系等。 此方面研究将推广Banach空间中对应的结果。（2）度量空间中的拟对称映射与拟Mobius映射：计划通过构造的方法来研究拟对称映射与拟Mobius映射在度量空间中的等价刻画，作为应用，将研究拟对称映射与FQC映射的关系。此方面研究将为FQC映射的进一步研究奠定基础。此研究具有重要的理论意义。

此项目研究期间，我们按原计划对自由拟共形映射、拟Mobius映射以及Gromov双曲性系等展开了研究，得到了系列结果，共发表SCI论文（标注本项目资助）5篇，接收SCI论文2篇。具体如下：.（一）研究了度量空间中一致域在弱拟对称映射下的次不变性；讨论了John空间的几个等价刻画，研究了John空间在拟对称映射下的不变性；提出了roughly Apollonian bilipschitz同胚以及φ-距离比同胚两个映射类，得到了域的Gromov双曲性等性质关于这些映射类的不变性；讨论了距离商度量和自由拟共形映射的关系等。主要结果发表在Comput. Methods Funct. Theory、Monatsh.Math.、Complex Var.Ell.Edu.等国际权威刊物。.（二）研究了拟度量空间中拟对称映射与Power拟对称映射的关系，以及拟Mobius映射与Power拟Mobius映射的关系，并研究了空间的一致完备性与拟对称映射以及拟Mobius映射的关系。研究了在非局部紧的度量空间中一致域在反演和球面化映射下具有不变性，作为应用，得到在非局部紧的度量空间中一致域在拟Mobius映射下具有不变性，为将来的继续研究奠定了基础。相关结果已被Filomat等国际权威刊物采稿。