度量空间中拟共形映射研究

The quasiconformal mapping is the natural generalization of conformal mapping. There are lots of applications in different fields, like complex analysis, PDE, geometric group theory, geometric measure theory, fractals. We will mainly consider three aspects in this project: first, we will study the preservation of Poincare inequality under weighted sphericalization, and then we want to show the preservation of harmonic function under such metric measure transformation. Second, Bonk,Heinonen and Koskela consider the correspondence between Gromov hyperbolic domain and uniform domain in Euclidean spaces, we want to consider the preservation of Poincare inequality under the uniformizing of Gromov hyperbolic domain and vice versa. Third, we want to develop the theory of weighted Hardy spaces under quasicomformal mapping. Astala and Koskela characterized the Hardy spaces under quasiconformal mappings, so we want to generalize their results and find out more equivalent conditions of the weighted Hardy spaces.

拟共形映射是共形映射的自然推广，在复分析、偏微分方程、几何群论、几何测度论、分形理论等领域有许多应用。本项目主要研究三方面内容：第一是研究在度量空间中关于球面化在加权测度变换之后如何保持Poincare不等式，并且研究调和函数在球面化之后的对应。第二，Bonk,Heinonen,Keskela等数学家之前考虑的在欧式空间中的一致区域与Gromov双曲区域之间的对应关系，我们则希望考虑在一致区域双曲化以及Gromov双曲空间的一致化变换中如何保持Poincare不等式。第三，我们希望发展拟共形映射下的加权Hardy空间理论，Astala,Koskela考虑拟共形映射下的Hardy空间理论，我们希望推广他们的结论并且在加权Hardy空间中找到更多的等价条件。

拟共形映射是共形映射一种自然的推广，它在复分析、偏微分方程、几何群论、几何测度论、分形理论等领域有许多应用。本项目主要研究度量空间中的两类类重要的拟共形映射，球面化映射以及反演变换。球面化映射把无界区域转化为有界区域，而反演变换则把有界区域变成无界区域。本项目的研究成果主要分为三部分，第一部分是p调和函数在无界的Ahlfors正则空间的球面化映射的不变性。对于p调和函数Dirichlet问题，Perron方法是一种常用的解法。对于有界区域p调和函数的Perron解已经有很完善的结果。然而对于无界区域，我们借助球面化的方法，把无穷远点∞的映射到有界区域的边界上。而结合考虑∞的边界正则性。第二部分是关于最小梯度问题的Dirichlet问题。在度量空间中，对于p大于1的Dirichlet问题，存在唯一已经解的稳定性等问题已经有了充分的理解。然而当p等于1时，给定边值寻找相应有界变分函数的Dirichlet问题仍然还有不少公开问题。在本项目中，通过两种方式定义给定边值的最小梯度问题。第一种方式，通过给定Lipschitz函数边值，寻找满足区域闭包的BV能量最小来逼近。而第二种方式，通过把函数在区域内的BV能量与在边界上的函数与给定边值差之和来求最小化。对于第一种方式，经典的变分法理论可以应用，通过取一列p_k趋向1的数列，并取对应边界的p_k调和函数来逼近。对于第二种方式，区域边界满足密度条件时，同样可以通过一组趋向1的p_k调和函数来逼近得到相应满足迹定义的Dirichlet问题的解。第三部分是研究超度量空间的问题。我们知道符号康托集与超度量存在biLipschitz映射等价性，但是这个是对于有界集合而言的。借助球面化与反演变换，我们可以构造出无界的例子。